二次函数中寻找等腰三角形问题

试卷第1页，总10页二次函数中寻找等腰三角形问题1．如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=32，直线y=323x经过点C，交y轴于点G,且∠AGO=30°。(1)点C、D的坐标(2)求顶点在直线y=323x上且经过点C、D的抛物线的解析式；(3)将(2)中的抛物线沿直线y=323x平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E。平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。试卷第2页，总10页2．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，5ABADDC，11BC．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQBC，交折线段BAAD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（0t）．（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t,使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．试卷第3页，总10页3．已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（－3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l1、抛物线、直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标：试卷第4页，总10页4．如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由．试卷第5页，总10页5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（14,0）和C（0，－8），对称轴为x＝4．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．试卷第6页，总10页6．在平面直角坐标系中，二次函数2yaxbx2的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；试卷第7页，总10页7．如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式．（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，①求证：PF=PR；②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．试卷第8页，总10页8．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第9页，总10页9．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=38，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒32个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB上取两点M、N作等边△PMN．（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．试卷第10页，总10页10．如图,已知抛物线cbxxy221与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为以AC为腰的等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．ABCEDxyo答案第1页，总13页参考答案1．【解析】（1）根据题意可得点C的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点C的横坐标，继而也可得出点D的坐标；（2）由题意可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称，从而得出抛物线的对称轴为，再由抛物线的顶点在直线，可得出顶点坐标为()，设出顶点式，代入点C的坐标即可得出答案．（3）分EF=EG、GF=EG、GF=EF三种情况分析。解：(1)C(4，)，D(1，)；(2)顶点()，解析式；(3)EF=EGGF=EGGF=EF2．（1）4t即4秒时，正方形PQMN的边MN恰好经过点D.（2）22210(03)924(34)112822(47)1233122(78)4ttttttttt（3）∵180PEFQEFQDFQEF∴2PEFQDFQEFADBABC由（1）可知1122EPBPt则142EFEQPQEPt①当EFEP时，答案第2页，总13页FENMQPDCBA11422tt∴4t②当FEFP时，作FREP，垂足为RRFENMQPDCBA∵1325EREPEF∴1131(4)2252tt∴4811t③当PEPF时，作PSEF，垂足为SSFENMQPDCBA∵1325ESEFPE∴1131(4)2252tt∴4011t∴当4t、4811或4011时，△PEF是等腰三角形3．解：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，又∵OB=3，OA=1，AB=4，∴，∴点C的坐标是由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入答案第3页，总13页函数解析式得所以，抛物线的函数解析式为；（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．（3）当点M的坐标分别为时，△MCK为等腰三角形．（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（﹣2，），又∵点C的坐标为（0，），则GC∥AB，∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，∴△CGK为正三角形∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，），（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，），（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，答案第4页，总13页综上所述，当点M的坐标分别为时，△MCK为等腰三角形．4．（1）设y=ax（x﹣4），把A点坐标（3，3）代入得：a=﹣1，函数的解析式为y=﹣x2+4x，…………………………………………………4分（2）0＜m＜3，PC=PD﹣CD=﹣m2+3m，=﹣+，………………6分∵﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，当D（，0）时，PCmax=，…………………………………………………8分（3）P的坐标是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．………………………………………………………………………12分（3）简单解答过程如下：当0＜m＜3时，仅有OC=PC，∴，解得，∴；当m≥3时，PC=CD﹣PD=m2﹣3m，OC=，由勾股定理得：OP2=OD2+DP2=m2+m2（m﹣4）2，①当OC=PC时，，解得：，∴；②当OC=OP时，，解得：m1=5，m2=3（舍去），∴P（5，﹣5）；③当PC=OP时，m2（m﹣3）2=m2+m2（m﹣4）2，解得：m=4，∴P（4，0），存在P的坐标是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．5．（1）；（2）存在，理由如下：答案第5页，总13页综上所述：存在5个M点，即6．【解析】解：（1）由抛物线过A（－3，0），B（1，0），则，解得。∴二次函数的关系解析式为。（2）设点P坐标为（m，n），则。连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N。PM=，，AO=3。答案第6页，总13页当时，，所以OC=2。111∵＜0，∴函数有最大值，当时，有最大值。此时。∴存在点，使△ACP的面积最大。（3）存在。点。7．【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，∴A、D关于抛物线的对称轴对称。∵E是AB的中点，∴O是矩形ABCD对角线的交点。又∵B（2，1），∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）。∵抛物线的顶点为（0，0），∴可设其解析式为：y=ax2，则有：4a=﹣1，a=﹣。∴抛物线的解析式为：y=﹣x2。（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，﹣a2），而R（a，1）、F（0，﹣1），则：PF=PR=，∴PF=PR。②∵RF=，∴若△PFR为等边三角形，则由①得RF=PF=PR，得：=，即：a4﹣8a2﹣48=0，得：a2=﹣4（舍去），a2=12。答案第7页，总13页∴a=±2，﹣a2=﹣3。∴存在符合条件的P点，坐标为（2，﹣3）、（﹣2，﹣3）。③同①可证得：QF=QS。在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）。同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）。∵QS⊥BC、PR⊥BC，∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°。∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形。（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式。（2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐