函数零点问题中参数范围的求解

在函数零点问题中求解参数范围江山中学杨作义王芳根据函数的零点情况，讨论参数的范围”是高考考查的重点和难点．对于这类问题，我们可以利用零点定理、数形结合思想、函数单调性与参数分离思想来求解．一、利用零点定理求解参数范围如果函数()yfx在,ab上连续且满足()()0fafb，则()yfx在区间(,)ab上至少存在一个零点，即存在(,)cab，使得()0fc．这就是零点定理．对于高中阶段常遇到的问题：“已知连续函数()yfx在,ab上单调，且在区间(,)ab上存在一个零点，求参数的范围”可用()()0fafb求解．例1[2012年高考数学天津卷（理科）第4题改编]已知函数3()2()Rxfxxaa在区间(0,1)内存在一个零点，则实数a的取值范围是．解：因为函数()fx在区间(0,1)内存在一个零点，故(0)(1)0ff，整理得(1)(3)0aa，解得13a．所以，实数a的取值范围是(1,3)．二、利用数形结合思想求解参数范围如果通过变形，可以将函数()fx转化为两个函数(),()gxhx之差的形式，那么(),()gxhx图象交点的横坐标就是函数()fx的零点．因此对于含参数函数()()()fxgxhx，我们可以利用数形结合思想作出(),()gxhx的图象，并根据两图象的交点情况求解参数范围．把原函数转化为两个函数时，要注意转化得到的两个函数的图象应该是比较容易画出的．在作图时，要利用函数奇偶性、单调性等性质，并标注出函数图象上的零点、最高点、最低点等一些特殊点，尽量把图象画准确，避免误判．例2[2011年高考数学北京卷（理科）第13题]已知函数322()(1)2xfxxxx，；，．若关于x的方程()fxk有两个不等的实根，则实数k的取值范围是．解：当2x时，2()fxx，此时()fx在2,上单调递减，且0()1fx。当2x时，3()(1)fxx，此时()fx过点(1,0),(0,1)，且在,2上单调递增。当2x时，()1fx。如图1所示作出函数()yfx的图象，由图可得()fx在-2，上单调递增且()1fx，()fx在2，上单调递减且0()1fx，故当且仅当01k时，关于x的方程()fxk有两个不等的实根．即实数k的取值范围是0,1．图1三、利用函数单调性求解参数范围如果函数()yfx在,ab上单调递增或递减，则()yfx在,ab上至多只有一个零点．反之，如果函数()yfx在,ab上单调且存在零点，那么()()0fafb必然成立．对于某些形式复杂的函数()yfx，如果直接作出其图象有困难，我们可以先通过求导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，再观察函数()fx图象与直线yb的图象的交点．通过平移直线yb确定交点个数，即可求解参数范围.例3[2013年高考数学北京卷（文科）第18题第(2)问]已知函数2()sincosfxxxxx．若曲线()yfx与直线yb有两个不同的交点，求实数b的取值范围．解：()2cossin-sin(2cos)fxxxxxxxx．因为2cos0x，所以当0x时，()0fx，()fx在(0,)上单调递增；当0x时，()0fx，()fx在(,0)上单调递减．当0x时，min()(0)1fxf，当x趋近于或-时，都有()fx。如图2所示，要使曲线()yfx与直线yb有两个不同的交点，则实数b的取值范围是(1,)．四、利用参数分离法求解参数范围如果函数()yfx或方程()0fx=中的参数变量a能被分离出来，形成()ahx形式，函数的零点问题就转化为与x轴平行的直线ya和函数()yhx的图象的交点问题．通过讨论函数()yhx的单调性或值域，即可判断函数的零点,由此可得参数范围.利用参数分离法求解,可以回避对参数取值情况的讨论.例4[2013年高考数学陕西卷(理科)第21题第(2)问]已知函数()e(0)xfxx，讨论曲线()yfx与曲线2(0)ymxm公共点的个数．解：曲线()yfx与曲线2(0)ymxm公共点的个数即方程2e(0)xmxx的解的个数，也就是方程2e(0)xmxx的解的个数．令2e()(0)xgxxx，则243ee2e(2)()xxxxxxgxxx．当(0,2)x时，()0gx，()gx在(0,2)上单调递减；当(2,)x时，()0gx，()gx在(2,)上单调递增．所以2mine()(2)4gxg．又当x趋近于0时，()gx趋近于；当x趋近于时，()gx趋近于．所以，当2e0,4m时，曲线图2()yfx与曲线2(0)ymxm无公共点；当2e4m时，它们有1个公共点；当2e,4m时，它们有2个公共点．【练一练】1．已知函数2()21fxmxx有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是(A),1(B),01(C),00,1(D),12．已知函数32()393fxxxx，若函数()()gxfxm在2,5上有3个零点，求实数m的取值范围．【参考答案】1.B(提示：当0m时，()21fxx，函数零点为12x，满足题意；当0m时，若2240m，解得1m，由此可得1x是唯一零点，满足题意；若0，则函数与坐标轴有两个不同的交点．因为(0)1f，所以0=x不是函数的零点.若函数()fx开口向上，则两个零点必定同为正或同为负，不合题意，只有当()fx开口向下时，函数()fx的两个零点一正一负，符合题意．此时有2240,0.mm解得0m.综上可得,01m)2.解：2()3693(1)(3)fxxxxx，其图象为开口向上的二次图象,零点为1213-==，xx,结合2,5可得，当2,1(3,5]x时，()0fx；当(1,3)x时，()0fx，所以函数()fx在[2,1)和(3,5]上单调递增，在(1,3)上单调递减．故()(3)24,()(1)8fxffxf极小值极大值，此外，(2)1,(5)8ff．如图3所示，作出函数()fx的大致图象，要使函数()()gxfxm在2,5上有3个零点，只要使函数()fx在2,5上的图象与直线ym有3个交点即可．由图3可知，当8m时，函数()fx与直线ym至多有2个交点；当[1,8)m时，函数()fx与直线ym有3个交点；当-24-1m，时，函数()fx与直线ym有2个交点；当-24m时，函数()fx与直线ym至多有1个交点．故[1,8)m．———本文发表于《中学生天地》2013年第9期图3