第11讲・数学一轮课件・2008年全品高考复习方案

第十一讲二次函数复习目标及教学建议基础训练知识要点双基固化能力提升规律总结复习目标掌握二次函数的解析式及其图象特征；掌握二次函数的单调性，二次函数在某区间上的最值的求解方法及规律，培养分类讨论的思维能力.教学建议二次函数是重要的初等函数之一，许多问题都需要化归为二次函数来处理，同时它又与二次方程、二次不等式有着密切的联系，因此既要熟练掌握好定义、图象特征及性质（特别是单调性），又要掌握“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）之间的相互联系及互相转化，复习时应围绕这两个重点展开.复习目标及教学建议2008高考复习方案基础训练1.已知二次函数f(x)满足：对x∈R，f(x)≤f(1)=3，且f(0)=2，则f(x)的表达式为（）A．f(x)=-x2+2x+2B．f(x)=x2-2x+2C．f(x)=-x2-2x+2D．f(x)=x2+2x+2A第十一讲二次函数【解析】设f(x)=a(x-1)2+3（a＜0又f(0)=a+3=2，∴a=-1∴f(x)=-(x-1)2+3=-x2+2x+2.2．设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下图之一：则a的取值为（）A．1B．-1C．D．2008高考复习方案第十一讲二次函数B1521523．函数f(x)=2+2x-x2，x∈［0，3］的值域是（A．（-∞，3］B．［-1，3C．［-2，3］D．（-3，+∞）【解析】（淘汰法）若a=1，则y=x2+bx的图象过原点且开口向上，对称轴x=-＜0，显然所给图中没有一个满足，排除A.若a=-1同理可知，图（3）满足.2008高考复习方案第十一讲二次函数B【解析】∵f(x)=-(x-1)2+3，x∈［0，3∴f(x)max=3，f(x)min=-1.2b2008高考复习方案第十一讲二次函数4．已知方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根的充要条件是.a≤1【解析】（1）当a=0时，原方程的解为x=-（2）当a≠0时，原方程有实根的充要条件是Δ=4-4a≥0，即a≤1.设原方程ax2+2x+1=0（a≠0）的两根为x1，x2，125．已知函数y=3x2-(2m+6)x+m+3取值恒为非负数，则实数m的取值范围是.2008高考复习方案第十一讲二次函数m∈［-3，0］a＜0或0＜a≤1.∴a≤1是ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.【解析】∵关于x的函数的二次项系数3＞0，∴满足条件Δ=(2m+6)2-4×3(m+3)≤0解之得-3≤m≤0.2008高考复习方案第十一讲二次函数【解析】f(x)的对称轴为x=-1，又x1+x2=1-a，∴=，0＜a＜3，∴＞-1，又∵x1＜x2，∴x1离对称轴的距离小于x2离对称轴的距离，又a＞0，所以f(x1)＜f(x2).6．已知函数f(x)=ax2+2ax+4（0＜a＜3），若x1＜x2，x1+x2=1-a，则f(x1)f(x2).＜12a12a122xx2008高考复习方案知识要点1（1）一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)（2）顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)（3）两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x=-，顶点坐标是（-，）；当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下.第十一讲二次函数2ba2ba244acba3．二次函数的单调性及最值（1）当a＞0时，函数在（-∞，-）上递减，在[-，+∞）上递增，并且当x=-时，[f（x）]min=（2）当a＜0时，函数在（-∞，-）上递增，在［-，+∞）上递减，当x=-时，［f（x）］min==f（-）4二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当Δ=b2-4ac＞0时图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，这里的x1，x2是方程f(x)=0的两根，且|M1M2|=|x1-x2|=.2ba2ba244acba2008高考复习方案第十一讲二次函数2ba2ba2ba2ba2ba244acba1212,.bxxacxxa||a2ba244acba2008高考复习方案第十一讲二次函数5．二次函数在闭区间上的最值若a＞0，二次函数f(x)在闭区间［p，q］上的最大值为M，最小值为N.令x0=（p+q）.①若-＜p，则M=f(q)，N=f(p);②若-＞q，则M=f(p)，N=f(q);③若p≤-≤x0，则M=f（q），N=f（-）;④若x0＜-≤q，则M=f（p），N=f（-）2ba2ba2ba2ba2ba2ba123．一元二次方程实根的分布一般地，方程f(x)=ax2+bx+c(a＞0)的根x1，x2的分布所满足的充要条件如下表：2008高考复习方案第十一讲二次函数根的分布图像充要条件x1x2kKx1x2()020fkbka()020fkbka2008高考复习方案第十一讲二次函数根的分布图像充要条件x1kx2f(k)0K1x1x2K2K1x1x2K2K31212()0()020fkfkbkka123()0()0()0fkfkfk例1已知函数f(x)=x2+2ax+2，x∈［-5,5］.（1）当a=-1时，求函数f(x)（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间［-5,5］（3）若a∈R，求函数f(x)的最大值g(a).2008高考复习方案双基固化1．二次函数的单调性与最值第十一讲二次函数【解析】（1）当a=-1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x∈［-5,5］.x=1时，f(x)的最小值为1.x=-5时，f(x)的最大值为37.2008高考复习方案（2）函数f(x)=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为x=-a，∵f(x)在区间［-5,5］上是单调函数.∴-a≤-5或-a≥5，故a的取值范围是a≤-5或a≥5.（3）若|-a-5|≥|-a+5|，即a≥0时，当x=5时，f(x)取最大值.且g(a)=f(5)=27+10a.若|-a-5|＜|-a+5|，即a＜0时，当x=-5f(x)取最大值，此时g(a)=f(-5)=27-10a.g(a)=27+10aa≥0,27-10aa＜0即g(a)=27+10|a|.第十一讲二次函数2008高考复习方案【小结】第（3）问注意简化讨论，即根据对称轴与两个端点的距离的远近进行讨论第十一讲二次函数例2已知f(x)=-3x2+（6-a）ax+b.（1）若a=1，f(x)＜0在R上恒成立，求b的取值范围；（2）若不等式f(x)＞0的解集为{x|1＜x＜2}，求a、b（3）若方程f(x)=0有一个根小于1，另一根大于1，当b＞-6且b为常数时，求实数a的取值范围.2．“三个二次”的关系问题2008高考复习方案第十一讲二次函数【解析】(1)由已知得-3x2+5x+b＜0，x∈R恒成立，∴Δ＜0，解得b＜-，即b的取值范围是(-∞，-).（2）由题意知，方程f(x)=-3x2+（6-a）ax+b=0的两根为1和2，如图所示（3）∵-3＜0，由图中图象知，只需f(1)＞0∴-3+(6-a)a+b＞0a2-6a+3-b＜03-＜a＜3+.5125126b6b2008高考复习方案第十一讲二次函数【小结】（1）二次函数值恒大（小）于零，常结合二次函数的图象和判别式来考虑.（2）中利用二次不等式与二次方程之间的关系；即二次不等式解集区间的端点值是对应方程的解.（3）第（3）问是关于二次方程根分布的问题，可以借助二次函数的图象直观考察，主要从判别式、对称轴、端点值这三个方面入手考虑应满足的条件.例3设f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)·f(1)＞0，求证：（1）方程f(x)=0（2）-2＜＜-1（3）设x1，x2是方程f(x)=0则≤|x1-x2|＜.2008高考复习方案能力提升第十一讲二次函数3．二次函数的综合应用ba33232008高考复习方案第十一讲二次函数【解析】（1）若a=0，则b=-c，f(0)·f(1)=c·（2b+c）=-c2≤0与f(0)·f(1)＞0矛盾，故a≠0.又3ax2+2bx+c=0的Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）=4［（a+c）2-3ac］=4［(c-)2+a2］＞0,故f(x)=0有两不等实根.（2）∵f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)＞0又c=-(a+b)，即（a+b）·（2a+b）＜0，又a2＞0，故（1+）（2+）＜0，故-2＜＜-1.2a342a2a2a（3）∵（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=由第（2）问-2＜＜-1，故≤（x1-x2）2＜，故≤|x1-x2|＜.2008高考复习方案第十一讲二次函数【小结】本题综合考查了二次函数、二次方程、二次不等式等基础知识和运用这些知识分析问题、解决问题的能力，综合性强.33224493bcaa23222224124[3()431()99923bacbaabbaaaba13491．二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想、方法将它们进行转化，这是准确迅速解决此类问题的关键.2．对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在［m，n］的最值的研究是本讲内容的重点，对如下结论必须熟练掌握：（1）当x=-∈［m，n］时，是它的一个最值，另一个最值在区间端点取得.（2）当x=-［m，n］时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得.2008高考复习方案规律总结第十一讲二次函数2ba2ba244acba（3）二次函数在某个区间上的最值问题的处理，常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想，当二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的时，需要考察二次函数的图象特征（开口方向、对称轴与该区间的位置关系），抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求解.3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，当a＞0且Δ＜0时f(x)＞0恒成立.当a＜0且Δ＜0时f(x)＜0恒成立.4．二次函数问题大多通过数形结合求解，同时注意分类讨论和等价转化.2008高考复习方案第十一讲二次函数