第11讲解析几何

第十一讲:解析几何1第十一讲:解析几何杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：[phone]）解析几何是中学数学的主干内容,在高考、自主招生和数学竞赛中均占有重要位置.解析几何是高考决胜的至高点,是自主招生和数学竞赛的必争之地.高考、自主招生和数学竞赛中的解析几何问题的难度、所涉及的知识和方法,大体相当.Ⅰ.知识拓展1.基础结论:①点P(a,b)在曲线C:f(x,y)=0上f(a,b)=0;②若不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标满足002211cbyaxcbyax,则直线AB的方程为:ax+by+c=0.2.曲线系:在一个关于x,y的二元方程中,如果它含有一个不定的常数,给这个常数一些不同的值,可以得到一系列具有某种共同性质的曲线(包括直线),它们的全体组成的集合叫做具有某种共同性质曲线系.①过曲线C1:f1(x,y)=0与C2:f2(x,y)=0的交点的曲线系方程为:f1(x,y)+λf2(x,y)=0;②过二次曲线C:ax2+cy2+dx+ey+f=0与直线mx+ny+p=0交点的圆系方程为:(ax2+cy2+dx+ey+f)+λ(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,这里λ=22nmac,t为任意实数.3.中点弦方程:若点P(x0,y0)在曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:ax0x++cy0y+d20xx+e20yy+f=ax02+cy02+dx0+ey0+f.推论:1.若点P(x0,y0)在椭圆G:2222byax=1内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:2020byyaxx=220220byax;2.若点P(x0,y0)在双曲线G:2222byax=1内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:2020byyaxx=220220byax;3.若点P(x0,y0)在抛物线G:y2=2px内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:y0y-p(x+x0)=y02-2px0;若点P(x0,y0)在抛物线G:x2=2py内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:x0x-p(y+y0)=x02-2py0.4.切线方程:若点P(x0,y0)在曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0上,则曲线G在点P处的切线方程为:ax0x+cy0y+d20xx+e20yy+f=0.推论:1.若点P(x0,y0)在圆G:(x-a)2+(y-b)2=R2上,则圆G在点P处的切线方程为:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2;2.若点P(x0,y0)在椭圆G:2222byax=1上,则椭圆G在点P处的切线方程为:2020byyaxx=1;3.若点P(x0,y0)在双曲线G:2222byax=1上,则双曲线G在点P处的切线方程为:2020byyaxx=1;4.若点P(x0,y0)在抛物线G:y2=2px上,则抛物线G在点P处的切线方程为:y0y=p(x+x0);若点P(x0,y0)在抛物线G:x2=2py上,则抛物线G在点P处的切线方程为:x0x=p(y+y0).5.切点弦方程:从点P(x0,y0)引曲线G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:ax0x+b200yxxy+cy0y+d20xx+e20yy+f=0.推论:1.从点P(x0,y0)引椭圆G:2222byax=1的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:2020byyaxx=1;2.从点P(x0,y0)引双曲线G:2222byax=1的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:2020byyaxx=1;2第十一讲:解析几何3.从点P(x0,y0)引抛物线G:x2=4py的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:x0x=2p(y+y0);从点P(x0,y0)引抛物线G:y2=2px的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:y0y=2(x+x0).6.切线交点的轨迹:过定点Q(x0,y0)(x02+y02≠0)的直线与二次曲线G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0相交于M、N,曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:ax0x+b200yxxy+cy0y+d20xx+e20yy+f=0.推论:1.过Q(x0,y0)的直线与椭圆G:2222byax=1相交于M、N,椭圆G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:2020byyaxx=1;2.过点Q(x0,y0)的直线与双曲线G:2222byax=1相交于M、N,双曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:2020byyaxx=1;3.过点Q(x0,y0)的直线与抛物线G:x2=4py相交于M、N,抛物线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:x0x=2p(y+y0);过点Q(x0,y0)的直线与抛物线G:y2=2px相交于M、N,抛物线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:y0y=2(x+x0).Ⅱ.归类分析1.直线与圆:[例1]:(2010年同济大学保送生考试数学试题)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为22,则直线l的斜率的取值范围是.注:本题引用(2006年湖南高考试题)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为22,则直线l的倾斜角θ的取值范围是()(A)[12,4](B)[12,125](C)[6,3](D)[0,2]同类的高考试题有:①(1991年全国高考试题)圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个②(2010年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.[解析]:[练习1]:1.①(2009年华南理工大学保送生考试试题)已知圆O:x2+y2=r2,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短的弦在直线l1上,直线l2的方程为bx-ay=r2,那么()(A)l1∥l2,且l2与圆O相交(B)l1⊥l2,且l2与圆O相切(C)l1∥l2,且l2与圆O相离(D)l1⊥l2,且l2与圆O相离②(2007年武汉大学保送生考试试题)如果直线ax-by+1=0(a、b∈R)平分圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的周长,那么ab的取值范围是()(A)(-∞,41](B)(-∞,81](C)(0,41](D)(0,81]③(2008年武汉大学保送生考试试题)直线l:y=2x+m和圆C:x2+y2=1相交于A、B两点,且∠AOB=1200,O为坐标原点,则常数m=()(A)25(B)215(C)25(D)215④(2007年武汉大学保送生考试试题)如果直线x=my-1与圆C:x2+y2+mx+ny+p=0相交,且两个交点关于直线y=x对称,那第十一讲:解析几何3么实数p的取值范围是.⑤(2010年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知圆C1:(x+3)2+y2=4,C2:x2+(y-5)2=4,过平面内的点P有无数多对互相垂直的直线l1、l2,它们分别与圆C1、圆C2相交,且被圆C1、圆C2截得的弦长相等,则P点坐标为.2.①(2010年“北约”自主招生试题)已知点A(-2,0),B(0,2),若点C是圆x2-2x+y2=0上的动点,求△ABC面积的最小值.②(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)在圆C:(x-1)2+y2=2上有两个动点A和B,且满足条件∠AOB=900(O为坐标原点).求以OA、OB为邻边的矩形OAPB的顶点P的轨迹方程.③(2012年全国高中数学联赛陕西预赛试题)在平面直角坐标系中,以点C(t,t2)为圆心的圆经过坐标原点O,,且分别与x轴,y轴分别交于点A、B(不同于原点O).(Ⅰ)求证:△AOB的面积S为定值;(Ⅱ)设直线l:y=-2x+4与圆C相交于不同的两点M、N,且|OM|=|ON|,求圆C的标准方程.④(2011年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知O为坐标原点,B(4,0),C(5,0),过C作x轴的垂线,M是这垂线上的动点,以O为圆心,OB为半径作圆,MT1,MT2是圆的切线,则△MT1T2垂心的轨迹方程是.⑤(2012年全国高中数学联赛试题(A卷))如图,yB在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的边长为4,且|OB|=|OD|=6.HC(Ⅰ)求证:|OA||OC|为定值;A(Ⅱ)当点A在半圆M:(x-2)2+y2=4(2≤x≤4)上OMx运动时,求点C的轨迹.D2.基本问题:[例2]:(2012年“卓越联盟”自主招生数学试题)抛物线y2=2px(p0),F为抛物线的焦点,A、B是抛物线上两点,线段AB的中垂线交x轴于D(a,0),a0,m=|AF|+|BF|.(Ⅰ)证明:a是p、m的等差中项;(Ⅱ)若m=3p,l为平行于y轴的直线,其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值,求直线l的方程.[解析]:[练习2]:1.①(2001年复旦大学保送生考试试题)抛物线y2=-4(x-1)的准线方程为()(A)x=1(B)x=2(C)x=3(D)x=4②(2011年复旦大学保送生考试试题)设直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m、b为实数,t为参数)和22)1(ax+y2=1(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a、b应满足()(A)a2(1-b2)≥1(B)a2(1-b2)1(C)a2(1-b2)1(D)a2(1-b2)≤1③(2006年武汉大学保送生考试试题)椭圆22ax+22by=1(ab0)的半焦距为c,直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标为c,则该椭圆的离心率为.④(2012年全国高中数学联赛江苏预赛试题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线122x-42y=1的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若△FAB的面识为83,则直线l的斜率为________⑤(2008年武汉大学保送生考试试题)点P为椭圆C:62x+22y=1上的一点,F1、F2为椭圆C的左、右焦点,若|PF1|:|PF2|=5:1,则△PF1F2的面积为()(A)362(B)36(C)26(D)64第十一讲:解析几何⑥(2012年全国高中数学联赛试题(B卷))如图,y设椭圆22ax+22by=1(ab0)的左、右焦点分别A为F1、F2,过点F2的直线交椭圆于A(x1,y1)、F1F2xB(x2,y2)两点,若△ABF1内切圆的面积为π,且|y1-y2|=4,则椭圆的离心率为.B⑦(2012年全国高中数学联赛试题(A卷))抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A、B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=3,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则||||ABMN的最大值是.⑧(2007年武汉大学保送生考试试题)如果椭圆22ax+22by=1(ab0)的离心率为23,那么双曲线22ax-22by=1的离心率为(A)2(B)2(C)25(D)45⑨(2012年全国高中数学联赛安徽预赛试题)设两个椭圆2222ttx+222tty=1和53222ttx+722tty=1有共同的焦点,则t=.⑩(2010年复旦大学保送生考试试题)已知常数k1、k2满足:0k1k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=k1(x-1)+1和y=k2(x-1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比21ee等于()(A)222111kk(B)212211kk(C)1(D)21kk2.①(2007年清华大学自主招生数学试题)已知A(-1,-1),△ABC是正三角形,且B、C在双曲线x