初三数学难题集锦-(1)

初中数学难题集锦1．（本小题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.⑴求∠A的度数；⑵若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝34，求图中阴影部分的面积.2．（本小题满分10分）已知抛物线2yaxbx(a≠0)的顶点在直线112yx上，且过点A(4，0)．⑴求这个抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.⑶设点C(1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D，使ADCD的值最大，请直接写出点D的坐标.3．（本小题满分12分）已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°．点P从点B出发以1cm/s的速度沿着射线BC运动，点Q从点C出发以2cm/s的速度沿着线段CD运动，当点Q运动到点D时，所有运动都停止.设运动时间为t秒．⑴如图1，当点P在线段BC上且△CPQ∽△DAQ时，求t的值；⑵在运动过程中，设△APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；EDCBAOF图1QPDCBA参考答案1．（本小题满分10分）⑴解：连结OC，∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°.………………………………(1分)∵∠D＝30°，∴∠COD＝60°.…………………(2分)∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°.………………(4分)⑵∵CF⊥直径AB，CF＝34，∴CE＝23，…………(5分)∴在Rt△OCE中，OE＝2，OC＝4.……………………(6分)∴2BOC60483603S扇形＝＝，EOC12232S＝＝23.…………………………(8分)∴EOCBOC23SSS阴影扇形8＝－＝－3…………………………………………………(10分)2．（本小题满分10分）⑴∵抛物线过点(0，0)、(4，0)，∴抛物线的对称轴为直线2x.………………………………………………………(1分)∵顶点在直线112yx上，∴顶点坐标为(2，－2).…………………………(3分)故设抛物线解析式为2(2)2yax，∵过点(0，0)，∴12a，∴抛物线解析式为2122yxx………………………(5分)⑵当AP∥OB时，如图，∠BOA＝∠OAP＝45°，过点B作BH⊥x轴于H，则OH＝BH.设点B(x，x)，故2122xxx，解得x＝6或x＝0(舍去)…………………………(6分)∴B(6，6).…………………………………………………………………………(7分)当OP∥AB时，同理设点B(4－x，x)EDCBAOF故21(4)2(4)2xxx，解得x＝6或x＝0(舍去)，∴B(－2，6).……(8分)⑶D(2，－6).………………………………………………………………………………(10分)3．（本小题满分12分）解：⑴如图1，分别过点作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，∵BC＝20，∠C＝180°－∠ABC＝60°，∴CN＝10＝DM，BN＝103，∴CD＝60.∵△CPQ∽△DAQ，∴CPCQDADQ，∴20220602ttt－，∴110t，260t(不合题意)，∴t＝10.………(5分)图1图2⑵当点P在线段BC上时，如图2，过P作FG⊥CD于G，交AB延长线于F.∴PF＝32t，PG＝3(20)2t，∴11032ABPSABPFt，13(20)22CPQSCQPGtt，ADQCPQABPABCDSSSSS梯形－－－＝5003－1602)1032t（－H图1QPDCBAMN图1QPDCBAFG－3(20)2tt－103t，＝23(20400)2tt.(020t)(8分)当点P在线段BC的延长线上时，如图3，过P作PH⊥AB于H，则设AP与CD交于点E，∵ECPCABPB，∴40800tECt,∴QE＝CQ－CE＝2240800ttt.∴y＝310800402212ttt=ttt)40020(3102.(2030t)………………………………………(12分)备用图ABCDPQEH图3