高中数学-专题---平面向量

考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三专题二三角函数、平面向量第三讲平面向量考点二考点一目录ONTENTSC考点三4课后训练提升能力考情分析明确方向年份卷别考查角度及命题位置命题分析Ⅰ卷向量的线性运算·T7Ⅱ卷数量积的运算·T42018Ⅲ卷向量共线的坐标运算及应用·T131.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7题或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识交汇综合命题，难度中等.考情分析明确方向年份卷别考查角度及命题位置命题分析Ⅰ卷向量垂直的应用·T13Ⅱ卷向量加减法的几何意义·T42017Ⅲ卷向量垂直的应用·T131.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7题或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识交汇综合命题，难度中等.考情分析明确方向年份卷别考查角度及命题位置命题分析Ⅰ卷平面向量垂直求参数·T13Ⅱ卷平面向量共线求参数·T132016Ⅲ卷向量的夹角公式·T31.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7题或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识交汇综合命题，难度中等.考点一平面向量的概念及线性运算考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三[悟通——方法结论]如图，A，B，C是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC→＝λPA→＋(1－λ)PB→.考点一平面向量的概念及线性运算考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三该结论比较典型，由此可知：若A，B，C三点在直线l上，点P不在直线l上，则存在λ∈R，使得PC→＝λPA→＋(1－λ)PB→.注意：这里PA→，PB→的系数之和等于1.特殊情形：若点C为线段AB的中点，则PC→＝12(PA→＋PB→)．考点一平面向量的概念及线性运算考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→作出示意图如图所示．EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.故选A.A[全练——快速解答]考点一平面向量的概念及线性运算考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三2．如图，在直角梯形ABCD中，DC→＝14AB→，BE→＝2EC→，且AE→＝rAB→＋sAD→，则2r＋3s＝()A．1B．2C．3D．4根据图形，由题意可得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋14AB→)＝12AB→＋23AD→.因为AE→＝rAB→＋sAD→，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3，故选C.C[全练——快速解答]考点一平面向量的概念及线性运算考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三3．(2018·西安三模)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心设BC的中点为D，则由OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，可得AP→＝λ(AB→＋AC→)＝2λAD→，所以点P在△ABC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选C.C[全练——快速解答]考点一平面向量的概念及线性运算考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝12.12[全练——快速解答]考点一平面向量的概念及线性运算考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三【类题通法】1．记牢2个常用结论(1)△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD→＝12(AB→＋AC→)．(2)△ABC中，O是△ABC内一点，若OA→＋OB→＋OC→＝0，则O是△ABC的重心．考点一平面向量的概念及线性运算考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三2．掌握用向量解决平面几何问题的方法(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题．(3)把运算结果“翻译”成几何关系．考点二平面向量的数量积考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三[悟通——方法结论]1．平面向量的数量积运算的两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．考点二平面向量的数量积考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三2．夹角公式cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.3．模|a|＝a2＝x2＋y2.4．向量a与b垂直⇔a·b＝0.考点二平面向量的数量积考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a||b|依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A.A[全练——快速解答]考点二平面向量的数量积考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三2．(2018·西安八校联考)在△ABC中，已知AB→·AC→＝92，|AC→|＝3，|AB→|＝3，M，N分别是BC边上的三等分点，则AM→·AN→的值是()A．112B．132C．6D．7不妨设AM→＝23AB→＋13AC→，AN→＝13AB→＋23AC→，所以AM→·AN→＝(23AB→＋13AC→)·(13AB→＋23AC→)＝29AB2→＋59AB→·AC→＋29AC2→＝29(AB2→＋AC2→)＋59AB→·AC→＝29×(32＋32)＋59×92＝132，故选B.B[全练——快速解答]考点二平面向量的数量积考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三3．(2018·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.2π3∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝22，∴〈a，b〉＝π4.B[全练——快速解答]考点二平面向量的数量积考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三4．(2018·合肥一模)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝3，则a在b方向上的投影等于________．∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝3，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为a·b|b|＝－12.－12[全练——快速解答]考点二平面向量的数量积考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三【类题通法】快审题1.看到向量垂直，想到其数量积为零．2．看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式．避误区两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.考点三平面向量在几何中的应用考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三[悟通——方法结论]破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速破解．考点三平面向量在几何中的应用考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，所以PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y－322－32，当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值，为－32，选择B.B考点三平面向量在几何中的应用考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ的最大值为()A．3B．22C.5D．2以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1，2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为212＋22＝25，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝45，因为P在圆C上，所以P1＋255cosθ，2＋255sinθ，AB→＝(1,0)，AD→＝(0,2)，AP→＝λAB→＋μAD→＝(λ，2μ)，所以1＋255cosθ＝λ，2＋255sinθ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cosθ＋55sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tanφ＝2，选A.A考点三平面向量在几何中的应用考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三【类题通法】数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．考点三平面向量在几何中的应用考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三1．(2018·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则PA→·BD→的取值范围是()A．－12，1B．－1，12C．[－1,1]D．[－1,0]∵在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，∴BD＝2.如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O，则PA→＝PO→＋OA→，OA→·BD→＝0，∴PA→·BD→＝(PO→＋OA→)·BD→＝PO→·BD→.∴当点P与点B重合时，PA→·BD→取得最大值，即PA→·BD→＝PO→·BD→＝12×2×2＝1；当点P与点D重合时，PA→·BD→取得最小值，即PA→·BD→＝－12×2×2＝－1.∴PA→·BD→的取值范围是[－1,1]．C[练通——即学即用]考点三平面向量在几何中的应用考点一考点二课后训练提升能力首页上页下页尾页考点三2．(2018·辽宁五校联考