应用随机过程第6章股票价格行为模式分析下

第6章股票价格行为模式分析（下）布朗运动鞅随机积分及其在金融中的应用2016-2017学年第2学期统计与信息学院张建新1提要1股票价格行为特征、市场假设2股票价格行为模式3收益率变化模型4相关随机过程Markov过程、Brown运动、鞅、Ito过程5相关随机分析随机微积分、Ito积分、Ito定理、随机微分方程6随机分析的其他应用22股票价格行为模式（2）›无红利支付股票价格遵循的随机过程dS=μSdt+σSdB›其中S=S(t)代表t时刻股票价格›B=B(t)是标准Brown运动，也称Wiener过程。›表达式“dS=μSdt+σSdB”表示股价S(t)可以由瞬态期望漂移率(instantaneousexpecteddriftrate)为μS和瞬态方差率为σ2S2的Ito过程（几何布朗运动）表达。›应用Ito定理，可以对上述股票价格过程进行变形，得到显示表达：321()exp{()()}2SttBt2股票价格行为模式（3）›无红利支付股票价格遵循的随机过程dS=μSdt+σSdB›股价S(t)可以由瞬态期望漂移率(instantaneousexpecteddriftrate)为μS和瞬态方差率为σ2S2的Ito过程（几何布朗运动）表达。421()exp{()()}2SttBt•股票价格服从对数正态分布，即取对数之后为正态分布21ln~[ln()(),]2TtSNSuTtTt563收益率变化模型（1）›无红利支付股票收益率遵循的随机过程›dS/S=μdt+σdB›dS/S为股票价格收益率，上式表明可以用漂移率的期望值为μ，方差率的期望值为σ2的普通布朗运动表示。73收益率变化模型（2）›股票收益率dS/S=μdt+σdB›可以用漂移率的期望值为μ，方差率的期望值为σ2的普通布朗运动表示股票收益率。8•股票价格收益率的分布：•记t到T时间内连续复利年利率为则可以得：11ln(lnln)TTttSSSTtSTt由股票价格的对数正态分布性质知：21~((),)2NuTt4相关随机过程—Ito过程›布朗运动的路径性质决定了我们不能按照，Riemann的思想定义积分。›40年代，日本科学家Ito用新的思路引入了随机积分（对布朗运动的积分），其基本思想就是，取左端点，求和，取极限。9(,)(,)ttttdXtXdttXdB•如下过程称为Ito过程•当和均为常数时，称上述过程为广义Weiner过程。•Ito过程的积分形式：00()(0)((),)((),)()ttXtXXssdsXssdBs5相关随机分析(1)›随机微积分›Ito积分›Ito定理›随机微分方程105相关随机分析(2)—随机微积分›在普通函数的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上。›在一般随机分析中，以随机序列极限为基础，研究分析随机过程的连续、导数和积分等概念和性质。›在以“均方收敛”定义的极限的基础上，建立起“随机微积分与微分方程”理论。›这里所称“随机分析”是概率论的一个重要分支,它诞生于20世纪40年代,创始人K.Ito获得1987年Wolf数学奖.›在对获奖工作的评价中写到:“他的随机分析可以看作随机王国中的牛顿定律.它提供的支配自然现象的偏微分方程和隐藏着的概率机制之间的直接翻译过程.›其主要成分是Brown运动函数的微分和积分运算.由此产生的理论是近代纯粹与应用概率论的基石.115相关随机分析(3)—Ito积分125相关随机分析(4)—Ito积分135相关随机分析(5)—Ito积分›如何理解Ito积分？–Ito积分的均值为0，方差为：›如何理解Ito定理（公式）？–Ito公式研究Ito过程X(t)的复合函数Y(t)=f(t,X(t))的泰勒展开式关于dt的一阶近似。–为什么不写出其他的二次项？–因为他们都是dt的高阶无穷小量，可以略去。142200[(()())][()]TTEXtdBtEXtdt222(,)(,)(,)1(,)()2tttttttttgtXgtXgtXdYdgtXdtdXdXtXX5相关随机分析(6)—Ito积分›(dXt)2=?(dBt)2=?(dBt)(dt)=?›关于上式的直观理解：–布朗运动的二次变差公式得到15222(,)(,)(,)1(,)()2tttttttttgtXgtXgtXdYdgtXdtdXdXtXX()()dBtdBtdt()0dtdBt，5相关随机分析(7)—Ito定理16•Ito在建立了随机版本的积分之后，又给出了随机版本的牛顿定理。•Ito定理：设X为Ito过程，g为二次可导的二元函数，则•对于股票价格S(t):使用Ito定理便得到：222(,)(,)(,)1(,)2tttttgtXgtXgtXdgtXdtdXdttXXtdSuSdtSdW21()exp{()()}2StutBt5相关随机分析(8)—Ito定理17•利用Ito定理推导股票价格公式6随机分析的其他应用›1红利情形下远期合约进行定价18•远期合约与股票价格的关系为：()rTtFSe•根据Ito定理，F满足的方程为()tdFurFdtFdW•可以看出F的变化过程仍为一个几何布朗运动，但是其变化期望增长率为u-r,但不是u。6随机分析的其他应用2Black-Scholes期权定价–期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。–标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。–金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。–在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程：Black-Scholes微分方程。–求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。196随机分析的其他应用2Black-Scholes期权定价2022221()(22dSSdtSdzffffdfSSdtSdzStSS股票价格:（1）期权价格：）222212fffrSSrftSS•这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程;•它事实上适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。详见教材9.2节。小结—练习题11.设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18％，预期收益率以连续复利计为每年20％，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。21解：μ=0.20,σ=0.18，其股价过程为：dS/S＝0.20dt十0.18dB在随后短时间间隔后的股价变化为:ΔS/S=0.20Δt+0.18(Δt)^(1/2)ε由于1周等于0.0192年，因此ΔS=100(0.00384+0.0249ε)=0.384+2.49ε上式表示一周后股价的增加值是均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽样值。小结—练习题22.设A股票价格的当前值为50元，预期收益为每年18%，波动为每年的20%，该股票价格遵循几何布朗运动，且该股票在6个月内不付红利，请问该股票在6个月后的价格ST的概率分布.22解：6个月后ST的概率分布为：0.04ln~[ln50(0.18)0.5,0.20.5]2ln~(3.992,0.141)TTSNSN由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为95％，因此，置信度为95％时：3.71＜lnST＜4.274即：40.85＜ST＜71.81因此，6个月后A股票价格落在40.85元到71.81元之间的概率为95％。小结—练习题33.请问在上题中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少?23E(ST)＝50e0.18×0.5＝54.71元var(ST)＝2500e2×0.18×0.5×(e0.04×0.5一1)=60.46半年后，A股票价格的期望值为54.71元，标准差为√60.46或7.78。作业›P170习题83,424