中考数学专题复习——锐角三角函数的实际应用

...课题：锐角三角函数的实际应用【基础知识回顾】知识点1：锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切）技巧点拨：①弦——分母都是斜边②正弦——分子是正对的边（谐音“正邪”)③切——垂直的意思，只与直角边有关④正切——分子是正对的边⑤余——剩余的意思余弦——分子是剩下的直角边（即邻边）余切——分子是剩下的直角边（即邻边）简记为：正弦——对比斜(或正比斜）正切——对比邻余弦——邻比斜知识点2：常见的锐角三角函数值三角函数30°45°60°技巧点拨sinα212223分母都是2，分子分别是√1、2、3cosα232221分母都是2，分子分别是3、2、√1tanα3313分母都是3，分子分别是3、1、3【新课知识讲解】知识点3：解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c...（1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（三角形内角和）（3）边角之间的关系：（锐角三角函数）baBabBcaBcbBabAbaAcbAcaAcot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用：测距、测高、测长等例1、如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方点P处，此时飞机离地面的高度PO＝450m，且A，B，O三点在一条直线上，测得∠＝30°，∠＝45°，求大桥AB的长(结果保留根号)．【分析】第一步：确定相关直角三角形本题中∠、∠分别在RtΔAOP、RtΔBOP中（由平行线内错角相等转化已知角）第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值第三步：代入已知条件求值，并简答【答案】由题意得，ΔAOP、ΔBOP均为直角三角形，∠PAO=∠＝30°，∠PBO=∠＝45°，PO=450m在RtΔAOP中，tan∠PAO=PO/AO在RtΔBOP中，tan∠PBO=PO/BO代入数值，计算得tan∠PAO=PO/AO=tan∠=33所以AO=3POtan∠PBO=PO/BO=tan∠=1所以BO=POAB=AO-BO=(3-1）PO=450(3-1）m...答：AB长为450(3-1）m例2、如图，已知两座高度相等的建筑物AB、CD的水平距离BC＝60米，在建筑物CD上有一铁塔PD，在塔顶P处观察建筑物的底部B和顶部A，分别测行俯角0030,45，求建筑物AB的高。（计算过程和结果一律不取近似值）【分析】P第一步：确定相关直角三角形RtΔADP、RtΔBCP第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值第三步：代入已知条件求值，并简答【解答】由题意得：ΔADP、ΔBOP均为直角三角形，∠PBC=∠＝45°，∠PAD=∠＝30°，BC=AD=60m，AB=CD在RtΔADP中，tan∠PAD=PD/AD在RtΔBOP中，tan∠PBC=PC/BC代入数值，计算得tan∠PAD=PD/AD=tan∠=33所以PD=33ADtan∠PBC=PC/BC=tan∠=1所以PC=BCAB=CD=PC-PD=(1-33）BC=(1-33）×60m=（60-203）m答：AB长为（60-203）m【技巧点拨】（1）此类题型解答步骤：第一步：围绕题目中给出的已知角度、线段长度，构建合适的直角三角形，一般需要确定两个直角三角形注意：合适的直角三角形指的是包含已知角和已知线段的直角三角形，或者是先利用平行线性质、角度互余关系将已知角转化为其同位角、内错角或余角，包含这些转化后的角的直角三角形）第二步：分别在两个直角三角形中利用已知角和已知线段（边）列出已知角的锐角三角函数...第三步：代入数值计算，注意题目对计算结果的要求，并简要作答。（2）常见数学模型总结：模型①P已知角∠POA、∠POB已知线段AB，求线段PO或已知线段PO，求线段AB——对应例1点拨：利用RtΔAOP、RtΔBOPOBA模型②P已知角∠PAC、线段AB和BD，求线段PC点拨：利用RtΔACP、RtΔBDPCADB模型③P已知∠PAC、∠PBD，线段AB和BD，求线段PC或PD——对应例2CA点拨：利用RtΔACP、RtΔBDPDB模型④PQ已知∠APQ和∠BPQ，线段AB，求线段PO点拨；利用RtΔAPQ、RtΔBPQAOB...模型⑤P已知∠PAO和∠BAO，已知线段AO，求线段PBB或已知线段PB，求线段OA点拨：利用RtΔAPO、RtΔABOOA【课堂练习】为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．（提示：参照模型⑤）【分析】第一步：确定RtΔABD、RtΔACD第二步：分别在RtΔABD、RtΔACD中，列出已知角∠ADB、∠ADC的正切值tan∠ADB=AB/ADtan∠ADC=AC/AD第三步：代入数值计算并作答【解】由题意得：ΔABD、ΔACD均为直角三角形，且∠ADB=45°，∠ADC=60°AB=3m在RtΔABD中，tan∠ADB=AB/AD在RtΔACD中，tan∠ADC=AC/AD代入数值计算得，AD=AB=3m，AC=3AD=33m故BC=AC-AB=（33-3）m...【真题演练】1、在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？（2）求风筝A与风筝B的水平距离.(精确到0.01m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）2、（9分）（2014•河南）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，1.7）（提示：参照模型④）AB45°60°CED...3、(2013年河南省)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角68BAE，新坝体的高为DE，背水坡坡角60DCE。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米，参考数据：sin680.93,cos680.37,tan682.50,31.73）（提示：参照模型①）4、(2012年河南省)（9分）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°，已知点C到大厦的距离BC=7米，90ABD,请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数.参考数据：tan310.6,sin310.52,cos310.86）（提示：参照模型①）...5、(2011年河南省)(9分)如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第—高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处，测得地面上点B的俯角α为45°，点D到AO的距离DG为10米；从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处，测得塔尖A的仰角β为60°。请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．(参考数据：3≈1.732，2≈1.414.结果精确到0.1米)单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。