平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b|=1，则|a+5b|=。3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP=。4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。6、设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝。7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。8、在△ABC中，D为AB→AD=12→DB，→CD=23→CA+m→CB，则m=。9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP=2→PD，则点C的坐标是（）。二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD+→OA=→OC，则→OD坐标=（）。A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4,2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量,且|a|=|2b|,则（2a+b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=（-1，0），则|2a-3b|=（）A、15B、14C、13D、115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。2、已知a,b是单位向量,a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1,求|c|的最大值。3、直线3x+y-23=0与圆O：x²+y²=4交于A、B两点，求→OA·→OB的值。4、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，（1）求→DE·→CB（2）求→DE·→DC的最大值。5、已知向量a=（-1，0），b=（1，2），求与2a+b同向的单位向量的坐标【答案】一、填空题1、（8，18）2、533、（2，5）4、135、90°6、1，解：|a＋b|＝10，两边同时平方，得a²+2ab+b²=10--------①|a－b|＝6，两边同时平方，得a²-2ab+b²=6----------②①-②得，4ab=4，嘟a·b=17、60°解：设向量a、b为任意长度，夹角为任意角度。如图那么，a-2b，b-2a如下图，将上面两个图合并为一个图，标上字母，并连接DF在△ADF中，C是AD的中点，而CF⊥AD，所以三角形△AD是等腰三角形即：AF=DF---------------------①同理：B是AF的中点，而BD⊥AF，所以三角形△AD是等腰三角形即：AD=DF-----------------②由①、②知，AD=AF=DF所以△ADF是等边三角形，故∠A=60°即：a与b的夹角为60°8、m=139、120°9、解：根据已知a⊥（2a+b），那么其关系图如下。并在顶点标上字母，已知，|b|=4|a|，即直角边BC等于斜边AB的一半，故∠BAC=30°故a与b的夹角为120°10、(2，-2)二、选择题1、B解：先做向量→OC垂直于向量→OB，再过O点，作→OA平行于→BC，如下图，由图知：→OA+→AC=→OC-------------①已知→OD+→OA=→OC----------------②由①②知，→OD=→AC----------------③设→OC坐标为（m，n），已知→OB=（-2，4），所以→BC=（m+2，n-4）----④已知向量→OC垂直于向量→OB，所以，-2m+4n=0，即：m=2n---------------⑤将⑤代入④，得，→BC=（2n+2，n-4）-----------------⑥已知：→OA=（6，2），----------------------------------------⑦且向量→BC平行于→OA，所以：由⑥⑦得：（n-4）*6=（2n+2）*2解得：n=14将n=14代入⑤，解得m=28故→OC坐标为（28，14）已知：→OA=（6，2），所以：→AC=（22，12）又③知，→OD=→AC所以：→OD的坐标（22，12）故选B2、A解设A'（x,y）则向量AA'=(x-3,y-4）由A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A'即向量AA'=向量a即（1,-2）=(x-3,y-4）即x-3=1,y-4=-2解得x=4,y=2即A'（4,2）故选A3题：D4、C解：因为b=（-1，0）所以：|b|=1令t=|2a-3b|两边同时平方t²=4a²+9b²-12ab----------①因为a²=（|a|）²=4---------②b²=（|b|）²=1---------③将②③代入①，t²=25-12ab---------④又cosθ=ab│a│*│b│（其中θ=60°，|a|=2，|b|=1）解得：ab=1-----------------------⑤将⑤代入④，解得：t²=13因为t为正数，所以：t=13故选C5、C解：已知：|2·→0C＋→CD|＝4------------①因为→AC=2·→OC-----------------②由①②得，|→AC＋→CD|=4-------------③在三角形ACD中，→AC＋→CD=→AD------④由③④知：|→AD|=4在就是说，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°故菱形的对角线BD长度为4。即：|→BD|=4----------------------⑤在三角形BCD中，→BC+→CD=→BD-----⑥由⑤⑥知，|→BC+→CD|＝4故选C6题：D7题：D8、解已知a＝(3，4)，b＝(2，1)所以：ab=3*2+4*1=10|a|=3²+4²=5由题意可得b在a方向上的投影为：|b|cos＜a，b＞=ab│a│（其中：ab=10，|a|=5）=2故A9题、B延长AO交外接圆于D在RT三角形ADC中，cosDAC=丨AC丨丨AD丨-------------①又：cosDAC=---------------------------②由①=②知，→AC·→AD=(|AC|)²---------------------③在RT三角形ADB中，cosDAB=丨AB丨丨AD丨---------------④又：cosDAB=-----------------------------------------⑤由④=⑤知，→AD·→AD=(|AB|)²---------------------⑥→OA·→BC=12→AD·(→AC-→AB)=12(→AD·→AC-→AD·→AB)【将③⑥代入】=12[(|AC|)²-(|AB|)²]=12（3²-2²）=52故选B10、D正方形ABCD的边长为2，以正方形对角线交点为原点，AB平行于x轴，AD平行于y轴，则每一个点的坐标如图。→AE=(1,2)→BD=(-2,2)所以：→AE·→BD＝2故选D三、解答题1、解：由余弦定理：→AB·→AC=|AB|·|AC|cos∠BAC=|AB|·|AC|-16AB*AC=-162、解因为a·b=0，所以a⊥b，又a，b是单位向量，所以|a+b|=2先画出两个互相垂直的单位向量a，b。|BC|=|a+b|=2再以B点，随意画出一个长度为1的向量，那么，|→BD|=|→CD-a-b|=1，所以：向量→CD就是向量C由于|→BD|=1为定值，所以D点是以B点位圆心，半径为1的圆上当D点在CB延长线与圆的交点E时，|c|取得最大值且最大值为|a+b|+半径1即：2+1答：|c|的最大值2+13、解：圆心（0，0）到直线距离：d==3于是作出如下图形。因为OB=2,OC=3∠BOC=30°∠AOB=2∠BOC=60°cos∠AOB=12---------------------①|→OA|·|→OB|=2*2=4----------------②所以：→OA·→OB=|→OA|·|→OB|·cos∠AOB（将①②代入）=2答：→OA·→OB的值为24、解：正方形ABCD的边长为1，于是建立如下图形【第一问】→DE=（m，-1）→CB=（0，-1）→DE·→CB=m*0+（-1）*（-1）=1答：→DE·→CB的值为1【第二问】→DE=（m，-1）→DC=（1,0）→DE·→DC=m*1+（-1）*0=m因为E在AB之间，当E与B重合时，m最大为1答：→DE·→DC的最大值为1。5、解：已知a=（-1,0），b=（1，2）那么：2a+b=（-1*2+1，2*0+2）=（-1，2）设与2a+b同向的单位向量的坐标P（m，n）因为是单位向量，所以P的模为1，即m²+n²=1---------------①P与2a+b平行，则2m=-n-----------------------------------------------②将②代入①，解得：m=±55将m=±55代入②，得n=±255【特别注意】因为2a+b=（-1，2）所以，它的单位向量的横坐标、纵坐标正负号要一致。即P的横坐标为负，纵坐标为正所以：与2a+b同向的单位向量的坐标（-55，255）