(人教版)2018年中考数学：拓展题型-二次函数综合题((有答案)

目录拓展题型二次函数综合题....................................................................1拓展一二次函数与线段和差问题.....................................................1拓展二二次函数与三角形面积问题.................................................6拓展三二次函数与特殊四边形判定问题.......................................15拓展四二次函数与特殊三角形判定问题........................................24拓展题型二次函数综合题拓展一二次函数与线段和差问题针对演练1.(2016贺州10分)如图，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)求AD的长；(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．第1题图2.(2016大连12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋14与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．(1)填空，点B的坐标是________；(2)过点B的直线y＝kx＋b(其中k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC.求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．第2题图3.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，再连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．第3题图备用图【答案】1．解：(1)∵四边形OABC是矩形，B(10，8)，∴A(10，0).……………………………………………………(1分)又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(10，0)、E(6，8)和O(0，0)，∴22101006680abcabcc，解得131030abc，∴抛物线的解析式为y＝－13x2＋103x；………………………(3分)(2)由题意可知：AD＝ED，BE＝10－6＝4，AB＝8，………(4分)设AD为x，则ED＝x，BD＝AB－AD＝8－x，在Rt△BDE中，ED2＝EB2＋BD2，即x2＝42＋(8－x)2，…………………………………………(5分)解得x＝5，即AD＝5；……………………………………………………(6分)(3)由(2)可知，D点的坐标是(10，5)，∴△PAD的周长l＝PA＋PD＋AD＝PA＋PD＋5，…………(7分)∵抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线，点P是抛物线对称轴上的一动点，∴PO＝PA，∵l＝PA＋PD＋5＝PO＋PD＋5，∴当PO＋PD最小时，△PAD的周长l最小，即当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时PO＋PD最小，………………………………………………………………(8分)设直线OD的解析式为y＝kx，将D点坐标(10，5)代入得：5＝10k，解得k＝12，∴直线OD的解析式为y＝12x，………………………………(9分)当x＝5时，y＝52，∴P点的坐标是(5，52)．……………………………………(10分)2．解：(1)(0，12)；……………………………………………(2分)【解法提示】由y＝x2＋14得：A(0，14)，∵点B、O关于点A对称，∴B(0，12)．(2)∵直线BC过点B(0，12)，∴直线BC解析式为y＝kx＋12，………………………………(3分)∴C(12k，0)，又∵P是直线l上一点，∴可设P(12k，a)．如解图①，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接PB，第2题解图①则在Rt△PNB中，由勾股定理得：PB2＝PN2＋NB2，∵PB＝PC＝a，∴a2＝(12k)2＋(a－12)2，……………………………………(5分)解得a＝21144k，∴PB＝21144k，∴P点坐标为(12k，21144k)，……………………………(6分)当x＝12k时，y＝21144k，∴点P在抛物线上；…………………………………………(7分)(3)如解图②，由C′在y轴上，可知∠CBP＝∠C′BP，第2题解图②∵PB＝PC，∴∠CBP＝∠PCB，∵PC∥C′B，∴∠PCB＝∠ABC，∴∠C′BP＝∠CBP＝∠ABC＝60°，∴△PBC为等边三角形，∵OB＝12，∴BC＝1，OC＝32，∴PC＝1，∴P(32，1)．…………………………………………………(12分)3．解：(1)∵四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，∴C(0，3)，E(2，3)，将C(0，3)，E(2，3)代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c得，3423cbc，解得23bc，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∴AO＝1，BO＝3，又∵C(0，3)，∴OC＝3，在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝2210AOOC，∵CO＝BO＝3，OF＝2，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AF＝3，BF＝1，∴MF＝BF＝1，∵RO∥MF，∴△ARO∽△AMF，∴ROAOMFAF，∴113RO，解得RO＝13，∴CR＝3－13＝83，在Rt△AOR中，AR＝221101()33，∴△ACR的周长为10＋83＋103＝8＋4103；(3)存在点P，使得AP＋PH＋HG的值最小．如解图，取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y轴于点P，连接AP，此时，AP＋PH＋HG的值最小，第3题解图设直线A′G的解析式为y＝kx＋a，将A′(1，0)，G(4，－5)代入得，045kaka，解得5353ka，∴直线A′G的解析式为y＝－53x＋53，令x＝2，得y＝－103＋53＝－53，∴点H的坐标为(2，－53)，∴符合题意的点P的坐标为(0，－53)．拓展二二次函数与三角形面积问题针对演练1.(2016永州12分)已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为3102？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．第1题图2.(2015攀枝花)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3.(2015桂林)如图，已知抛物线y＝－12x2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A(0，8)、B(8，0)和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．(1)直接写出抛物线的解析式：____________________；(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？(3)当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使△PCD的面积等于△CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图4.(2016常州10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点．(1)求二次函数的表达式；(2)长度为22的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；(3)直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF＝S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图【答案】1．解：(1)令x＝0，得y＝－3，∴C(0，－3)，把(－1，0)和(3，0)代入y＝ax2＋bx－3中，得309330abab，解得12ab，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；…………………………(3分)(2)联立方程组223yxxykx，解得212212416224162kkkxkkkkky，222222416224162kkkxkkkkky，∵O是AB的中点，∴x1＋x2＝0，即2224162416022kkkkkk解得k＝－2，∴11323xy或22323xy，∴A(－3，23)，B(3，－23)；…………………………(7分)；(3)不存在实数k使得△ABC的面积为3102.理由如下：假设存在实数k使得△ABC的面积为3102，联立方程组223yxxykx，解得212212416224162kkkxkkkkky，222222416224162kkkxkkkkky，则A(22224162416,22kkkkkkkk)，B(22224162416,22kkkkkkkk)，∴S△ABC＝12OC(xB－xA)＝3102，∴12×3×2416kk＝3102，∴k2＋4k＋16＝10，即k2＋4k＋6＝0，∵b2－4ac＝16－240，∴此方程无解，∴不存在实数k使得△ABC的面积为3102.………………(12分)2．解：(1)把点A(－1，0)，B(3，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得10930bcbc，解得23bc，∴y＝－x2＋2x＋3；【一题多解】由题意可知点A(－1，0)，点B(3，0)是抛物线与x轴的两个交点，∴抛物线解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.(2)存在点D，使得△BCD的面积最大．设D(t，－t2＋2t＋3)，如解图①，作DH⊥x轴于点H，C点坐标为(0，3)，第2题解图①则S△BCD＝S四边形DCOH＋S△BDH－S△BOC＝12t(－t2＋2t＋3＋3)＋12(3－t)(－t2＋2t＋3)－12×3×3＝－32t2＋92t，∵－32＜0，即抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，∴当t＝－922×（－32）＝32时，S△BCD＝－32×(32)2＋92×32＝278，即点D的坐标为(32，154)时，S△BCD有最大值，且最大面积为278；(3)存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等．如解图②，∵P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛