正方形经典例题与答案

典型例题一例01．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使CECD，过E点作ACEF交AD于F.求证：DFEFAE.证明连结CF.在正方形ABCD中，90DABD，AC平分DAB.∵45CABDAC，又∵ACEF，∴45AFEDAC.∴EFAE在CEFRt与CDFRt中，CFCFCDCE,∴)(HLCDFRtCEFRt∴DFEF∴DFEFAE.说明：本题考查正方形的性质，易错点是忽视AEF是等腰直角三角形.解题关键是证AEF是等腰直角三角形和连CF证CEFCDF.典型例题二例02．如图，已知：在ABC中，90ACB，CD是ACB的平分线，ACDE//交BC于E，BCDF//交AC于F.求证：四边形CEDF是正方形.分析：要判定一个四边形是正方形有这样几种方法：①按照定义证明，②先证明它是菱形，再证它有一个角等于90.③先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等，那么本题中，因有一个角90ACB，且有两对平行线段，我们不妨采用第三种证明方法.那么由角平分线的性质定理容易证出DFDE.证明：∵BCDFACDE//,//（已知）∴四边形CEDF是平行四边形.∵90ACB（已知），∴四边形CEDF是矩形（有一个角是90的平行四边形是矩形）.∵90,//,//ACBBCDFACDE（已知），∴90DFCDEC又∵CD是ACB的平分线（已知），∴DFDE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.说明正方形是特殊的平行四边形，也是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．所以在判断一个图形是否为正方形时，由它的特殊性出发，通过先证它是平行四边形、矩形和菱形来完成．典型例题三例03．已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分CBE交CD于F.求证：AECFBE.证法1延长DC至N，使AECN，连结BN，则CBNABE.∴BNBECBNABE,.∵四边形ABCD为正方形，∴ABCD//∴ABFNFB.∵CBFNBCNBFEBFABEABF,，FBCEBF，∴NFBNBF∴CFCNNFBN∴CFAEBE证法2如图，延长DA到G，使CFAG，连结BG，则BCFBAG.∴CFAGCFBGCBFABG,,.∵四边形ABCD是正方形，∴BCAD//∴CFBABF∵CBFEBF，∴EBFABG∴ABEEBFABEABG，即ABFEBG∴EBGG∴CFAEAGEAEGEB说明构造全等三角形是关键典型例题四例04．如图，已知：E是正方形ABCD的边AD的中点，F是DC上的一点，且CDDF41.求证：BEEF.分析：因为ABCDDF4141，ABAEDE21，所以若设aDF，则EF、BE都可以用含有a的代数式表示.由此，我们想到，为了证明BEEF，即为了证明90BEF，不妨使用勾股定理的逆定理.为此，连结BF，则只需证明222EFBEBF就可以了.证明：连结BF，∵四边形ABCD是正方形，∴DACDBCAB，90DCABCA因为ADDEAECDDF21,41，∴若设aDF，则aABaDEAE4,2，在RtABE中，根据勾股定理，22222220)2()4(aaaAEABBE在EDFRt中，根据勾股定理，2222225)2(aaaDFEDEF在BCFRt中，根据勾股定理22222225)4()4(aaaaCFBCBF∴有222225aEFBEBF∴BFE是直角三角形，且90BEF，即EFBE.说明由正方形的特殊性，它不仅有平行四边形的性质，正方形的性质，还有菱形的性质，在给出一个四边形是正方形时，要能够灵活运用这些性质.典型例题五例05．已知：如图，正方形ABCD中，延长AD至E，使ADDE，再延长DE至F，使BDDF.连结BF交CE，CD于P，Q.求证：PQPD.证明：在正方形ABCD中，BCAD//，45BDCDBC，CDBC.∵DFBD，∴5.2212F∵ADDE，∴BCDE//∴四边形BDEC是平行四边形.∴BDCE//∴5.22124，453BDC.∴CDBCCP.∴5.67)3180(21CDP∴5.6734PQD，∴PQDCDP∴PQPD说明：本题综合考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，易错点是习惯地用角的代换企图证明PQDCDP，这样做显然无法证出.解题关键是求出5.67PQDCDP.典型例题六例06．如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，若有EFCFAE.求：EDF的度数.分析：在给出的条件中，EFCFAE这一条件比较分散.我们不妨把AE和CF平移到同一直线上.由正方形的性质可知CDAD，所以我们延长BC到G，使AECG，则可以知道CGDADE，∵CDGADE.又可以证得DGFDEF，∴可知ADEFDCCDGFDCFDGEDF，因此可求得EDF的度数.解答：延长BC到G，使AECG，连结DG.∵正方形ABCD，∴CDADDGCAADC,90又∵GCAE∴)(SASCGDRtAEDRt∴DGDECDGADE,∵EFFGCFCGCFAE，∴)(SSSGFDEFD∴ADEFDCCDGFDCFDGEDF.又∵90ADEFDCEDF∴4521ADCEDF典型例题七例07．如图，已知：正方形ABCD的边长等于cm12，点P在BC上，cmBP5，APEF且与AB、CD分别交于E、F两点.求：EF的长.分析：为了求EF的长，需要把EF与已知条件联系起来，因此想到构造一个以EF为边的三角形，所以作BCEG//，则易证EGFABP，从而可求cmAPEF1351222.解答：过E点作BCEG//交CD于G，∴90CFGE,90BAEG∵四边形ABCD是正方形，∴90CB，BCAB∴四边形BCGE是矩形.∴ABBCEG∵90AEG，APEF，∴90AEFPABFEGAEF，∴FEGPAB.∴)(ASAEGFABP∴cmBPABAPEF135122222典型例题八例08．（河北省，1997）命题：如图（1），已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作EBAG，垂足为G，AG交BD于点F，则OFOE.证明∵四边形ABCD是正方形，∴AOBOAOFBOE,90.∴又∵EBAG，∴329031∴21∴AOFBOE∴OFOE问题对上述命题，若点E在AC的延长线上，EBAG，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OFOE”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.解答：结论OFOE仍成立.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴90AOFBOE，AOBO∵EBAG，∴OAGOFAOAGOEB90.∴OFAOEB∴AOFBOE∴OFOE说明：本题是一个阅读理解题，解题关键是要阅读解题过程，总结解题思路和方法，然后探索并解决新问题.