化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法一、绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本应属于函数讨论的范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定，而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵，相应的任一实二次型都可以化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法：配方法和正交变换法；此外，由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵，因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法。以下就是几种方法的简单介绍，并且又提出了一种新的方法：雅可比方法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是22ax2bxycyf.（1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度，作转轴（反时针方向转轴）''''xxcosysinyxsinycos（2）把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。设P是一数域，一个系数在数域P上的12nx,x,...,x的二次齐次多项式22212n11112121n1n2222n2nnnnf(x,x,...,x)ax2axx...2axxax...2axx...ax称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设12nx,x,...,x；12ny,y,...,y是两组文字，系数在数域P中的一组关系式11111221nn22112222nn33113223nnnn12n22nnnxcycy...cyxcycy...cyxcycy...cy...........xcycy...cy（4）称为由12nx,x,...,x到12ny,y,...,y的一个线性替换，。如果ijc0，那么线性替换（4）就称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另ijjia=a，ij.由于ijjixx=xx，所以22212n11112121n1n2222n2nnnnf(x,x,...,x)ax2axx...2axxax...2axx...ax=nnijiji1j1axx它的系数排成一个n*n矩阵11121n21222nn1n2nmaaaaaaAaaa它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。令12nxxXx于是二次型可写成12nf(x,x,...,x)='XAX非退化线性替换可以表示成X=CY三、化二次型为标准形的方法之一：配方法定理：数域P上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。我们对变量的个数做数学归纳法。对于n=1，而二次型就是21111f(x)ax已经是平方和的形式了。现假定对n-1元二次型，定理的结论成立。再假设nn12nijiji1j1f(x,x,...,x)axx（ija=jia）分三种情况来讨论：1）iia（i=1，2，…，n）中是少有一个不为零，例如11a0。这时12nf(x,x,...,x)=2111ax+n1j1jj2axx+ni1i1i2axx+nnijiji2j=2axx=2111ax+2n1j1jj2axx+nnijiji2j=2axx=11a2n11111jjj2xaax-111a2n1jjj2ax+nnijiji2j=2axx=11a2n11111jjj2xaax+nnijiji2j=2bxx，这里nnijiji2j=2bxx=-111a2n1jjj2ax+nnijiji2j=2axx是一个2nx,...,x的二次型。令n-111111jjj222nnyxaaxyx...........yx即n-111111jjj222nnxyaaxxy...........xy这是一个非退化线性替换，它使12nf(x,x,...,x)=2111ay+nnijiji2j=2bxx。有归纳法假定，对nnijiji2j2byy有非退化线性替换22222332nn33223333nnnn22n33nnnzcycy...cyzcycy...cy...........zcycy...cy能使它变成平方和2222233nndzdz...dz。于是非退化的线性替换1122222332nn33223333nnnn22n33nnnzyzcycy...cyzcycy...cy...........zcycy...cy就使12nf(x,x,...,x)变成12nf(x,x,...,x)=2222233nndzdz...dz由归纳法，即证。2）所有iia都等于0，但至少一1ja0（j1），不是一般性，设12a0。令112212nnxzzxz-z...........xz它是非退化线性替换，且使12nf(x,x,...,x)=12122axx...=1212122a(zz)(z-z)...=221211222az2az...这时上式右端是12nz,z,...,z的二次型，且21z的系数不为0，属于第一种情况，定理成立。3）11121naa...a0由于对称性，有21222naa...a0这时nn12nijiji2j2f(x,x,...,x)axx是n-1元二次型。根据归纳假设，它能用非退化线性替换变成平方和。这样就完成了定理得证明。说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。配方法需要通过观察来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。四、化二次型为标准形方法之二：合同变换法（初等变换法）由上述配方法即得：定理在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。即对于任意一个对称矩阵A，都可以找到一个可逆矩阵C使TCAC成对角形。也即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。典型例题：用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。2221231231213(,,)222fxxxxxxxxxx解：123(,,)fxxx的矩阵为A=111120101以下为合同变换过程：11112010121*(1)11101110121*(1)10101111131*(1)10001000110001000111001000110101101231*(1)10001101232*(1)10001100332*(1)110010001111010001111010001100010003112011001因此D=100010003，C=112011001令X=CY，得123(,,)fxxx=2221233yyy五、化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型）利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论：对于任意一个n级是对称矩阵A，都存在一个n级是正交矩阵T，使T-1TAT=TAT成对角形。定理任意一个实二次型nn12nijiji1j1f(x,x,...,x)axx（ija=jia）都可经过正交的线性替换变成平方和12nf(x,x,...,x)=2222233nndzdz...dz其中平方项系数12nd,d,...,d就使矩阵A的特征多形式全部的根。因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。正交变换更具实用性。如：典型例题：作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲面？22223441xyzxyyz解：此方程左端的二项式部分为：(,y,z)fx=2222344xyzxyyz下把它正交替换成标准型：它的矩阵A=120222023EA=120222023=（2）（5）（1）A的全部特征值是2，5，-1对于特征值2，求出（2E-A）X=0的一个基础解系：1212把1单位化，得1231323对于特征值5，求出（5E-A）X=0的一个基础解系：2122把2单位化，得2132323对于特征值-1，求出（-E-A）X=0的一个基础解系：3221把3单位化，得3232313令T=212333122333221333，则T是正交矩阵，且1200TAT=051000令***xxyTyzz，则(,y,z)fx=*2*2*22x5yz所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为：*2*2*22x5yz=1由此看出，这是单叶双曲面。六、化二次型为标准形方法之四：雅可比方法（一）相关定义1、双线性函数定义V是数域P上一个线性空间，f(α,β)是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α、β，根据f都唯一地对应于P中一个数f(α,β)。如果f(α,β)有下列性质：1）f(α,1k1+22k)=1122kf(,)kf(,)2）112211,22,fkkkf()kf(),（+）=其中1212,,,,,是V中任意向量，12k,k是P中任意数，则称f(α,β)为V上的一个双线性函数。例如：欧式空间V的内积是V上双线性函数。2、对成双线性函数的定义f(α,β)线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α,β都有f（α，β）=f(β,α),则称f(α,β)为对称双线性函数。3、度量矩阵定义设f(α,β)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数。12n,,...,是V的一组基，则矩阵11)1nn1)nn)f(,f(,)A=f(,f(,