工程力学2第九章-压杆稳定的概念及三种平衡状态

第十一章压杆稳定在工程实际中，为了保证构件或结构物能够安全可靠地工作，构件除了满足强度、刚度条件外，还必须满足稳定性的要求。3§11−1压杆稳定的概念粗短压杆——强度破坏低碳钢短柱：屈服破坏；铸铁短柱：断裂破坏；P塑性材料P脆性材料AP0(a)(b)(a):木杆的横截面为矩形（12cm),高为3cm，当荷载重量为6kN时杆还不致破坏。(b):木杆的横截面与(a)相同，高为1.4m(细长压杆），当压力为0.1KN时杆被压弯，导致破坏。(a)和(b)竟相差60倍，为什么？问题的提出平衡的三种状态随遇平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消：稳定平衡——凹面上，刚球回到原位置；随遇平衡——平面上，刚球在新位置上平衡；不稳定平衡——凸面上，刚球不回到原位置，而是偏离到远处去。平衡的三种状态：体系受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡状态，当干扰消除后，它能够恢复到原有的平衡状态，则原有平衡状态称为稳定平衡状态。当干扰消除后，它不能够恢复到原有的平衡状态，且趋向于远离原有的平衡状态，则原有平衡状态称为不稳定平衡状态。当干扰消除后，它不能够恢复到原有的平衡状态，但能够在新的状态维持平衡，则原有平衡状态称为随遇平衡状态。F1FFFFcrFFcrFFcrFFcr稳定平衡状态不稳定平衡状态干扰力细长压杆——失稳破坏细长压杆——失稳破坏bs或失稳与屈曲（Buckling)在扰动作用下，直线平衡状态转变为弯曲平衡状态，扰动除去后，不能恢复到直线平衡状态，即由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态的现象，称为失稳或屈曲。临界载荷的概念压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平衡状态向不稳定的状态的质变的转折点,称为临界载荷,以Fcr表示。（1）由微分方程写出对应的特征方程（代数方程）；（2）求解特征方程的根；（3）按特征根的情况（单根、重根、共轭复根）写出微分方程的通解：21,rr有两个不相等实根xrxreCeCy212121rrr有两个相等实根)(21xCCeyrxir21,有一对共轭复根的通解方程0cyybya02cbrar特征方程)sincos(21xCxCeyx补充知识：求二阶常系数线性齐次方程通解临界压力—能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。§9.2两端铰支细长压杆的临界压力挠曲线近似微分方程弯矩FwM令则通解目录§9.2两端铰支细长压杆的临界压力边界条件：若则（与假设矛盾）所以目录w§9.2两端铰支细长压杆的临界压力得当时，临界压力欧拉公式挠曲线方程w目录1、适用条件：•理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）•线弹性，小变形•两端为铰支座§9.2两端铰支细长压杆的临界压力----欧拉公式2、21lFcrEIFcr杆长，Fcr小，易失稳刚度小，Fcr小，易失稳lxAwlksin,3、在Fcr作用下，挠曲线为一条半波正弦曲线Awlx,2即A为跨度中点的挠度目录例题解：截面惯性矩临界压力269kNN102693§9.2两端铰支细长压杆的临界压力目录试按照压缩强度条件计算最大轴力？？461.4KN一、一端固支一端自由细长压杆的临界载荷FABl偏离直线平衡位置后的状态§10-3两端非铰支细长压杆的临界载荷ABlF挠曲轴近似微分方程：建立梁段平衡方程:FM(x)Fxv)()(vFxMEIxMxv)(dd22)(dd22vEIFxv令:EIFk22222ddkvkxv满足方程的解为：FABlxv令:EIFk22222ddkvkxvklBklAcossin边界条件：0,0vxvlx,B0Ak0dd,0xvxkxBkxAvcossin取n=1,得：22)2(lEIFcr0cosklEIFknnkl2)2,1(2)12(222)2()12(lEInF二、一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷lFFFRx偏离直线平衡位置后的状态列出临界状态的平衡方程:FRF)(xMFRFvxl挠曲轴近似微分方程：建立x坐标处梁段的平衡方程：)()(xlFFvxMREIxMxv)(dd22)(dd22xlEIFvEIFxvR由位移边界条件确定常系数:)(dd22xlEIFvEIFxvRFFRx)()(cossin22EIFkxlEIkFkxBkxAvR0cossinklBklA0,0vx0,vlx02EIkFAkR0,0vx02EIkFBR00cossin01022klklEIklkEIkl02EIkFBR02EIkFAkR0cossinklBklA具有非零解klkltanEIkF2493.4kl22)7.0(lEIFcr方程组的非零解条件：三、其它支持方式下细长压杆的临界载荷类比法:根据力学性质将某些点类比为支座点lFQ一端固支一端自由：llFF22)2(lEIFcrQ一端固支、一端铰支lFcrl7.0拐点Fcr0.7lFcrFcr22)7.0(lEIFcrQ两端固支：2lFcrFcr22)5.0(lEIFcr拐点拐点2l4l4lFcr四、欧拉公式的一般表达式：ml——相当长度：相当的两端铰支压杆的长度m——长度因数:支持方式对临界载荷的影响Q杆端约束刚度越强，m越小，临界载荷越大。Q柱状铰的约束方式。22)(lEIFcrm§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力长度系数（无量纲）m相当长度（相当于两端铰支杆）lm欧拉公式的普遍形式：2)(2lEIπFcrm两端铰支22cr)(lEIFxlyOFxF目录§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力目录xzFl1F例题1由Q235钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，mz=1，长度为l1。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定my=0.5，长度为l2。求Fcr。l1xyl2l2zy22126624解：在xy平面内失稳时，z为中性轴)15622(2)622121(22412121233zI21221211)()(crlEIlEIFzzzm在xz平面内失稳时，y为中性轴)(3322612121224121yI2222222cr)5.0()(lEIlEIFyyym},min{crcrcr21FFFzy22126624§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力目录§9.4欧拉公式的适用范围经验公式1、临界应力22Ecr目录§9.4欧拉公式的适用范围经验公式欧拉公式只适用于大柔度压杆{杆长l约束条件m截面形状尺寸i集中反映了杆长、约束条件、截面形状尺寸对的影响。cr2、欧拉公式适用范围1pcrE22当pE2即pE21令目录P—比例极限3、中小柔度杆临界应力计算bacrbas2(小柔度杆)(中柔度杆)scr§9.4欧拉公式的适用范围经验公式a、b—材料常数pcrs当12即经验公式（直线公式）scrbas2令目录P—比例极限s—屈服极限pE21令表1直线公式的系数a和b材料a(MPa)b(MPa)低碳钢3041.12优质碳钢4612.568硅钢5783.744铬钼钢980.75.296铸铁332.21.454强铝3732.15松木28.70.19ilm•压杆柔度AIiμ四种取值情况，•临界柔度PE21P—比例极限bas2s—屈服极限2(小柔度杆)21(中柔度杆)•临界应力1(大柔度杆)欧拉公式22Ecrbacr直线公式强度问题scr§9.4欧拉公式的适用范围经验公式目录s22crE粗短杆细长杆中长杆CppcrO采用直线经验公式的临界应力总图Acr=ssBcr=abD三、临界应力总图压杆按柔度分类：—中长杆(中柔度杆)—细长杆(大柔度杆)pλλspλλλ—粗短杆(小柔度杆)sλλ直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。mlmilmAFcrcr§9.4欧拉公式的适用范围经验公式目录][FFstcrnFstn—稳定安全系数stcrnFFn工作安全系数§9.5压杆的稳定校核压杆稳定性条件stcrnFFnstcrnn或crF—压杆临界压力F—压杆实际压力目录解：CD梁0CM150030sin2000NFFkN6.26NF得AB杆ilm1mm732.130cos5.1l§9.5压杆的稳定校核已知拖架D处承受载荷F=10kN。AB杆外径D=50mm，内径d=40mm，材料为Q235钢，E=200GPa，=100，[nst]=3。校核AB杆的稳定性。1例题目录kN6.26NFAB杆ilmmm164644222244dDdDdDAIi131081610732.11得AB为大柔度杆kN11822lEIFcrmNcrFFn342.46.26118stnAB杆满足稳定性要求1mm732.130cos5.1l§9.5压杆的稳定校核目录千斤顶如图所示，丝杠长度l=37.5cm，内径d=4cm，材料为45钢。最大起重量F=80kN，规定的稳定安全系数nst=4。试校核丝杠的稳定性。例题§9.5压杆的稳定校核（1）计算柔度cm144464424dddAIi7515.372ilm查得45钢的2=60，1=100，21，属于中柔度杆。dl目录§9.5压杆的稳定校核（2）计算临界力，校核稳定查表得a=589MPa,b=3.82MPa,得丝杠临界应力为MPabacr5.3027582.3589此丝杠的工作稳定安全系数为stcrnFFn476.480381校核结果可知，此千斤顶丝杠是稳定的。381kNN381000404.05.3022AFcrcr目录如图（a）,截面的惯性矩应为cm77.520128000cm8000122012zz43zAIiI惯性半径为两端铰支时，长度系数1m解:（1）计算xoy平面的临界力和临界应力§9.5压杆的稳定校核目录7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz截面为1220cm2,l=7m,E=10GPa,试求木柱的临界压力和临界应力。例题1110MPa73.6121101014.3kN16171108101014.329222259222mElEIFcrycr因1故可用欧拉公式计算。117001211105.77ylim其柔度为§9.5压杆的稳定校核目录7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz§9.5压杆的稳定校核（2）计算xoz平面内的临界力及临界应力。如图（b）,截面的惯性矩为43ycm2880121220Icm46.320122880AIizz相应的惯性半径为两端固定时长度系数5.0m11010146.37005.01mzil柔度为目录7mF12cm20cmyz应用经验公式计算其临界应力,查表得kN8.2322.012.0107.96AFcrcr§9.5压杆的稳定校核194.0,3.29bMPaaMPa7.9101194.03.29bacr则临界压力为木柱的临界压力临界应力kNFcr161MPacr73.6目录欧拉公式22)(lEIFcrm越大越稳定crF•减小压杆长度l•减小长度系数μ（增强约束）•增大截面惯性矩I（合理选择