第九章-压杆稳定性

第九章压杆稳定问题知识回顾拉力作用下的杆件构件发生断裂bt构件发生显著的塑性变形s低碳钢铸铁压力作用下的短杆构件发生断裂bc构件发生显著的塑性变形s低碳钢铸铁！强度问题问题：为什么在低碳钢和铸铁轴向压缩试验中选择短柱做为试件？细长杆件受压时，强度不是影响其工作能力的主要因素，必须考虑其保持直线状态平衡的能力。F1F1F2F2本章内容•稳定性的概念•两端铰支细长杆的临界载荷•两端非铰支细长杆的临界载荷•中小柔度杆的临界应力•压杆稳定条件与合理设计9-1压杆稳定的相关概念1.什么是稳定性？构件保持原有平衡形式的能力。直杆：直线状态薄壁圆筒：圆形横截面状态2.构件何时会失去稳定性？以两端铰支杆件为例2.构件何时会失去稳定性？FFcr以两端铰支杆件为例FF构件在直线状态的平衡是稳定的FF=Fcr构件在曲线状态的平衡FFFcr稳定吗？杆件的受力性质发生了改变！结论：对于压杆来说，当压力F达到或超过Fcr时，在外来扰动的作用下，压杆不能保持原有的直线平衡状态，称为失稳。Fcr临界载荷是压杆保持直线平衡构形所能承受的最大载荷AFcrcr临界应力细长压杆失稳破坏时，横截面上的压应力小于极限强度（屈服强度或强度极限），有时甚至小于比例极限。解决压杆稳定问题的关键在于：确定压杆的临界载荷；将压杆的工作压力控制在由临界载荷所确定得许可范围内。3.工程案例1907年加拿大圣劳伦斯河在架设魁北克大桥（全长548米）的施工过程时，由于悬臂桁架中的一根受压下弦杆失稳，造成桥梁倒塌，9000吨钢材全部坠入河中，变成一堆废墟，桥上施工的人员中75人遇难。9.2两端铰支细长杆的临界载荷对于细长压杆来说，当轴向压力F等于临界载荷Fcr时，压杆在直线平衡构形附近无穷小的邻域内存在微弯的平衡构形。因此，压杆的临界载荷是使压杆在微弯状态下保持平衡的最小轴向压力。FFFcrFF=FcrFFFcr一、临界载荷的欧拉公式力学模型：在临界载荷作用下，细长压杆处于微弯的平衡状态。理想压杆：压杆轴线是理想直线，压力F的作用线与轴线完全重合，而且材料是均匀连续的。临界载荷求解的模型xFFlwxwxFFlwx设在轴向力F作用下，压杆处于微弯平衡状态。当杆内应力不超过材料的比例极限时，压杆挠曲轴方程为wEIxMdxwd)(22FwxM)(用截面法分析内力，则截面上的弯矩)(xMFwxwEIxMdxwd)(22FwxM)(022wEIFdxwd令EIFk20222wkdxwd该微分方程的通解为kxBkxAwcossin根据两端铰支杆的边界条件000wlxwx0BkxAwsin0sinklA...)2,1,0(nnkl...)2,1,0(nnklEIFk2...)2,1,0(222nlEInFcrFlEIF22两端铰支压杆临界力的欧拉公式此公式的应用条件：1.理想压杆2.线弹性范围内3.两端为铰支座时，F最小1nFcrFcrxwl半个正弦波kxAwsin)1(nnkl两端铰支细长压杆xlAwsinlx0例题1两端铰支细长压杆如图，已知材料为Q235钢，长度l=800mm,直径d=20mm，弹性模量E=200GPa。计算此压杆的临界载荷。解：22lEIFcr64)20()800(/1020042232mmmmmmNN41042.2crSSFNAF41038.7说明：细长压杆的承压能力由稳定性要求确定。练习题图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时。A.临界压力Fcr=π2EIy/l2，挠曲轴位于xy面内；B.临界压力Fcr=π2EIy/l2，挠曲轴位于xz面内；C.临界压力Fcr=π2EIz/l2，挠曲轴位于xy面内；D.临界压力Fcr=π2EIz/l2，挠曲轴位于xz面内；123hbIy123bhIzyzIIbh,微小弯曲变形发生在抗弯能力最小的纵向平面内。9.3两端非铰支细长压杆的临界载荷1、压杆的其它支承形式一端自由，一端固定F一端铰支，一端固定F两端均固定F2、一端自由一端固定压杆的临界载荷一端自由一端固定压杆在压缩载荷F作用下在微弯状态下保持平衡。FxxwEIxMdxwd)(22当杆内应力不超过材料的比例极限时，压杆挠曲轴方程为FFF固定端支反力如图FwFxM)(F)(xMFFwEIxMdxwd)(22FwFxM)(EIFwEIFdxwd22令EIFk22222kwkdxwd该微分方程的通解为kxBkxAwcossin根据压杆的边界条件000wwx0B00sin0coskBkAEIFEIFwdxwd220Akxwcos...)2,1,0(2nnklkxBkxAwcossin0B0AFxllxwkxcos0coskl时，F最小1ncrFlEIF22)2(lk23.细长压杆临界载荷的一般公式22)(lEIFcrl有效长度或相当长度长度因数，代表支承方式对临界载荷的影响。压杆的约束条件长度因数两端铰支一端固定，一端自由两端固定一端固定，一端铰支120.50.74.类比法：将细长压杆在不同约束条件下，屈曲后的正弦半波长度与两端铰支细长压杆屈曲时的正弦半波进行比较，从而确定临界载荷。0.5l支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Fcr欧拉公式长度系数μ22crEIFl22(0.7)crEIFl22(0.5)crEIFl22(2)crEIFl=10.7=0.5=2PcrABlPcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点Pcrl2l9.4中小柔度杆的临界应力1.临界应力与柔度①临界应力：压杆处于临界状态时，横截面上的平均应力。AIlEAFcrcr22)(AI与截面尺寸有关，令AIi2截面的惯性半径截面的面积AIiAIlEAFcrcr22)(AIi2222)(ilEAFcrcr22)(ilEcril令22Ecr欧拉临界应力公式为柔度或细长比称il22Ecril反映压杆支持方式的影响反映压杆长度的影响反映截面几何性质的影响柔度越大，临界应力越小，压杆越容易发生失稳。②柔度同长度、截面性质、支撑条件有关il2.欧拉公式的适用范围22)(lEIFcr仅适用于杆内应力小于比例极限的情况。pcrp22crEpE2ppE2令p时，欧拉公式才适用。p的压杆称为大柔度杆或细长杆。思考题由低碳钢制成的细长压杆，经冷作硬化后，（）。A.稳定性提高，强度不变；B.稳定性不变，强度提高；C.稳定性和强度都提高；D.稳定性和强度都不变。低碳钢材料冷作硬化后，比例极限提高，弹性模量E不变，因此，强度提高，稳定性不变。√3.临界应力的经验公式p的压杆处于临界平衡状态时，如果仍使用欧拉公式：临界应力大于比例极限不符合欧拉公式的适用条件。2222ppcrEE①直线公式bacr适用于合金钢、铝合金、铸铁与松木等材料的中柔度压杆。a、b为常数，与材料性能有关，单位MPap0中柔度压杆：材料a(MPa)b(MPa)p0硅钢5773.7410060铬钼钢9805.29550硬铝3722.14500灰口铸铁311.91.453松木39.20.19959表9-2几种常用材料的相关数据适用于结构钢与低合金钢等材料制成的非细长压杆。②抛物线型经验公式211bacrp0适用范围③小柔度杆的临界应力这类压杆不会出现失稳现象，应按强度问题计算。满足0的压杆临界应力：cr=s小柔度杆（粗短杆）——（1）大柔度杆（欧拉公式适用）P22Ecr（2）中柔度杆（经验公式）0Pbacr0sab（3）小柔度杆（强度失效）scr压杆的三种类型：0pPE2iLcr临界应力总图bacrPcup022EcrFiguresofCriticalStresses小柔度压杆中柔度压杆大柔度压杆杆件长度l长度系数μ：由杆件约束情况确定惯性半径：根据截面形状确定/iIAlicrscrab22crE00Pp2ppE0sabcrcrFA临界载荷的计算100p例题两根直径均为d的压杆，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件各不相同。1.比较两根压杆的临界载荷2.已知：d=160mm，E=200GPa,求：两根杆的临界载荷。il44/64/24dddAIi1.比较两杆柔度dmdma204/51dmdmb184/95.0显然babcracrFF,,2.计算两杆临界载荷1251602000020dma5.1121601800018dmb100p两杆都是大柔度杆，临界应力用欧拉公式计算。22EcrAFcrcr22)(lEIFcr或图示为由五根直径d=50mm的圆形钢杆组成边长为a=1m的正方形结构，材料为Q235钢，试求该结构的许用载荷。aABCFaDF200pMPa235sMPa200EGPa3041.12()crMPa中柔度杆的临界应力公式为Q235钢例题1.求AB、BD和AD杆的内力FFBAFDAA45ºFABFBCFBDBAB杆和AD杆为受压杆，BD杆受拉2FFFADABFFBD2.根据杆AB和AD的压杆稳定确定许可载荷4504mmdi圆杆的惯性半径805041000mmia杆AB和AD的柔度均为9920010200322MpaMPaEppp80对中柔度杆3041.12()crMPa6.6112.12353040杆AB和AD为中柔度杆MPacr4.2148012.1304kNmmmmNAFcrcr76.420)50(4/4.21422临界应力临界载荷76.4202FkNF595276.420][aABCFaDF3.根据杆BD的拉伸强度确定许可载荷FFBDkNmmNmmAFs2.461/2354)50(][22因此，比较两种计算的结果kNF2.461][FlllDBCA图示结构中，杆AB与BD的材料均为235钢，弹性模量E=200GPa，p=100，两杆均为直径d=10mm的圆杆，l=30cm。求结构的许可载荷。练习题ABCDlllq练习题梁柱组合结构如图，求结构许可载荷。9-5压杆稳定条件与合理设计1、压杆稳定条件][ststcrFnFF稳定安全系数临界载荷稳定许用压力轴向载荷][ststcrn以应力形式表示的稳定条件FnnFcrst以稳定安全系数形式表示的稳定条件解：1、求AB杆的内力以CD梁为研究对象，有0CM150030sin2000NFF26.7kNNF得例：已知托架D处承受载荷F＝10KN。AB杆的外径D＝50mm，内径d=40mm，材料为Q235钢，E=200GPa。λp＝100，λ0＝60，稳定安全系数nst=3。试校核AB杆的稳定性。2、求AB杆的柔度，并判断压杆类型il1m732.130cos5.1l26.7kNNFmmdDdDdDAIi164464222244P1081610732.113得AB为大柔度杆。kN11822lEIFcrNcrFFn342.46.26118stnAB杆满足稳定性要求。3、稳定性校核因为AB杆为大柔度杆，则可用欧拉公式