70Chapter1_760402064

1.1.三维欧氏空间的矢量1第1章矢量和张量标量和矢量分别可以理解为0阶和1阶张量;另一方面,张量具有高维矢量的性质.理解这种“你中有我,我中有你＂的相同和差异性,是通向把握张量的实质,灵活应用张量的一把钥匙.1.1三维欧氏空间的矢量1.1.1标量和矢量,矢量的点积,叉积和混合积我们日常生活的空间(在略去相对论效应后)是一个三维欧氏空间.许多几何或物理量,诸如长度,体积,质量,能量,温度,电荷等,分别可以简单地用一个数量来表征,且该数量与选择什么坐标系无关.这种可由与坐标选择无关的数量来表征的量,统称为标.量.(scalar).也有许多几何或物理量,如位置矢量,速度,加速度,力,热流矢量,电场和磁场强度矢量等等,是不仅有大小,而且有方向的量,统称为矢.量.(vector).与标量相同之处是,每个矢量作为一个整体是与坐标或矢量基的选择无关的;不同之处是,具体定量描述一个矢量时一般需参照一个坐标系或矢量基,并需用到三个表征参数或说分.量.(component).如图1.1(a)所示,若参照一个笛卡儿坐标系{xi},则任意一个矢量u可由u到三个坐标轴的投影ui完全刻化,具体表示为Figure1.1:三维欧式空间的矢量,坐标系和基矢:(a)任意矢量v及其参照一个笛卡儿坐标系‹xi或其单位方向构成的标准正交基‹ei时的分量vi;(b)一般矢量基‹gi及其对偶基矢gi的几何关系.u=u1e1+u2e2+u3e3=uiei,(1.1.1)ui=u·ei,(1.1.2)2其中ei为指向xi坐标轴正向的单位矢量,{ei}构成一个标准正交基(简称标正基,orthonormalbasis),即它们的内积(innerproduct)或点积(pointproduct)为ei·ej=δij=(1(若i=j,不求和)0(若i6=j)(1.1.3)符号δij是张量理论中最常用量之一,称作为Kronecker符号.在标正基下,任意两个矢量u,v的点积(pointproduct)为:u·v=u1v1+u2v2+u3v3=uivi.(1.1.4)三维欧氏空间中,两个矢量之间的叉.积.(crossproduct)或矢积(vectorproduct)是另一种应用广泛的矢量运算.如控制电磁场运动的Maxwell方程组为∇·D=ρ∇×E=−B∇·B=0∇×H=˙J+D⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭,(1.1.5)其中∇为梯度矢量算子,˙J为J对时间的导数,D和B分别是电位移和磁感应矢量,E和H分别为电场和磁场强度矢量,J为传导电流密度矢量,ρ为自由电荷密度.两个矢量u和v的叉积u×v,是满足下述交反对称性u×v=−v×u(1.1.6)的矢量值乘法.且规定当{ei}是一个右手定向的标正基时,有:e1×e2=−e2×e1=e3e3×e1=−e1×e3=e2e1×e2=−e2×e1=e3⎫⎪⎬⎪⎭.(1.1.7)这些关系可以统一表示如下：ei×ej=eijkek,(1.1.8)其中eijk称作为置换符号(permutationsymbol),是张量理论中另一个最常用符号.比较(1.1.7)和(1.1.8)可见,eijk不等于零的分量只有如下6个:e123=e231=e312=1,e213=e321=e132=−1.(1.1.9)如果{ei}是左手系,则ei×ej=−eijkek.任意三个矢量u,v,w的混.合.积.(mixedproduct)定义为[u,v,w]=(u×v)·w(1.1.10)容易看出将混合积中任何一对矢量交换位置,将得到仅改变正负号的混合积值.矢量叉积和混合积有着重要的几何含义,两个矢量的叉积u×v是一个与u和v都垂直的矢量,指向由u到v的右手螺旋方向,大小为|u×v|=|u||v|sinθ(1.1.11)1.1.三维欧氏空间的矢量3uvuvuw(a)(b)Figure1.2:矢量叉积u×v和混合积[u,v,w]的几何含义.(a)叉积u×v作为方向性(面的法向)的平行四边形的面积,(b)[u,v,w]作为方向性的平行六面体的体积.其中θ为u与v的夹角,见图1.2(a),代表由u和v作为两条棱的平行四边形的面积.因此u×v正是这个面积的方向性(即面的法向)表示.由此我们又得知三个矢量u,v,w非共面的一个充分必要条件是[u,v,w]6=0.混合积[u,v,w]的绝对值则是由u,v,w为棱所构成的平行六面体的体积,如图1.2(b)所示.不过[u,v,w]本身可以有正负之分,取决于u,v,w是否与右手系相一致,因此[u,v,w]是一种方向性体积.命题1.1.1任意三个矢量u,v,w的双重叉积具有如下关系u×(v×w)=(u·w)v−(u·v)w.(1.1.12)关于这个有用性质的证明,留作为练习.1.1.2协变和逆变矢量基,矢量分量的表示一般而言,只要任意给定的三个矢量g1,g2,g3非共面,它们就可以构成一个矢量基{gi},该三个基矢量既不必是单位长度，也不必相互正交.任意矢量u则可以表示成gi的线性组合:u=u1g1+u2g2+u3g3=uigi.(1.1.13)此时,ui一般不具有u在gi投影的几何意义.张量的定义和应用都将常常遇到这种一般性的矢量基.一个首要的问题是:在一般矢量基下如何简单有效的表达和计算矢量的分量呢?为了解决上述问题,张量分析引进三个新的矢量如下:gi=gijgj,(1.1.14)并假设它们可满足gi·gj=δij=(1(若i=j,不求和),0(若i6=j).(1.1.15)仍然称δij为Kronecker符号.为了证明这三个矢量的确存在,记gij≡gi·gj,(1.1.16)在(1.1.14)两边同时点积gk,并利用(1.1.15)(1.1.16),就得到gijgjk=δik,(1.1.17)4或⎡⎢⎣g11g12g13g21g22g23g31g32g33⎤⎥⎦⎡⎢⎣g11g12g13g21g22g23g31g32g33⎤⎥⎦=⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦(1.1.18)该关系不仅表明gij存在,而且其元素的矩阵[gij]与矩阵[gij]互逆,因此是gij由gij唯一确定.在(1.1.14)两边同乘gki和同时点积gk,利用性质(1.1.17)(1.1.15),又分别得到gij=gi·gj,(1.1.19)gi=gijgj.(1.1.20)由于三个基矢gi可表为三个矢量gi的线性组合(1.1.20),因此{gi}必然线性无关,因此也构成了三维空间的一个矢量基.在张量分析中分别称{gi}和{gi}为协变(covariant)和逆变(contravariant)基.于是,对任意矢量u又可以给出(1.1.13)的如下交换形式的表示:u=u1g1+u2g2+u3g3=uigi.(1.1.21)此外,由(1.1.16)和(1.1.19)可见gij=gji,gij=gji.(1.1.22)分别称作为协变度量张量和逆变度量张量.形象地讲,这两个度量张量起到对gi,gi升降指标的作用.由(1.1.13)和(1.1.22)分别点积gj,gj,利用(1.1.15),(1.1.16)和(1.1.19)可得ui=u·gi,ui=u·gi,(1.1.23)ui=gijuj,ui=gijuj.(1.1.24)分量的计算公式(1.1.23)具有类似于(1.1.2)的形式简单性,公式(1.1.24)表明度量张量对矢量分量具有同样的升降指标的功能.称ui和ui分别为u的逆变和协变分量.在三维欧氏空间,不难验证如下关联的{gi}和{gi}:g1=g2×g3[g1,g2,g3],g2=g3×g1[g1,g2,g3],g3=g1×g2[g1,g2,g3],(1.1.25)g1=g1×g2[g1,g2,g3],g2=g3×g1[g1,g2,g3],g3=g1×g2[g1,g2,g3].(1.1.26)满足(1.1.15),因此构成了协变和逆变基之间的又一个互为表示.这些关系同时给出了{gi}和{gi}之间的清楚的几何关联.例如,g1垂直于g2和g3张成的平面,且与g1的点积等于1.反复利用性质(1.1.15和1.1.17)易证:[g1,g2,g3][g1,g2,g3]=1.(1.1.27)由于u=uigi=(gijuj)gi=uj(gijgi)=ujgj,为了得到这样的统一由度量张量升降指标的性质,在张量分析中每个哑指标对需采用一个上标,一个下标的形式.只有在笛卡儿坐标系或标正基下,此时协变和逆变基相等,因此不失一般性,我们可将所有分量指标一律采用下标,如(1.1.1)和(1.1.4).1.1.三维欧氏空间的矢量5对任意两个矢量的点积,可得到如下类似于(1.1.4)的简单表达式:u·v=uivi=uivi,(1.1.28)以及u·v=gijuivj=gijuivj.(1.1.29)1.1.3基矢量和分量的变换给定一个矢量基{gi}后,假如又任意给定另一个矢量基{gi0:i0=1,2,3},且记gi0和gi的交换表示如下:g10=β110g1+β210g2+β310g3=βi10gig20=β120g1+β220g2+β320g3=βi20gig30=β130g1+β230g2+β330g3=βi30gi⎫⎪⎬⎪⎭=⇒gi0=βii0gi,(1.1.30)gi=βi0igi0.(1.1.31)则称βii0和βi0i分别为协变换系数和逆变换系数.由gi=βi0igi0=βi0i(βji0gj)=(βi0iβji0)gj可见βji0βi0i=δji,(1.1.32)或⎡⎢⎣β110β120β130β210β220β230β310β320β330⎤⎥⎦⎡⎢⎣β101β102β103β201β202β203β301β302β303⎤⎥⎦=⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦(1.1.33)即变换系数βji0和βi0i的矩阵互逆.易进一步证明gi0=βi0igi,gi=βii0gi0.(1.1.34)从任意矢量u的下列表示u=uigi=uiβi0igi0=ui0gi0=ui0βii0gi=uigi=uiβii0gi0=ui0gi0=ui0βi0igi可见可以表示为u=ui0gi0.特别地,把这些变换关系代入矢量的分量表示:ui0=βi0iui,ui=βii0ui0,ui0=βii0ui,ui=βi0iui0.(1.1.35)可见,尽管矢量的每个分量都是数量,但它们不是标量,因为矢量分量的值与参照的坐标系或基矢的选择相关.我们有下述命题.命题1.1.2若定量刻画某个量在参照任意两个矢量基{gi}和{gi0}时分别需用到三个表征数量uhii和uhi0i,且它们之间恒满足变换关系:uhi0i=βi0iuhii或uhii=βii0uhi0i,则uhii构成一个矢量的协变或逆变分量,且该矢量为u=uhiigi或u=uhiigi.61.1.4练习练习1对于三维欧氏空间中的任意矢量u,v,w,求证:(i)u×v=0与u,v共线等价;(ii)[u,v,w]=0与u,v,w共面等价.练习2对三维空间的任意矢量u,v,w,求证:u×(v×w)=(u·w)v−(u·v)w.并问:u×(v×w)与(u×v)×w是否相等?练习3在给定的一个右手定向的标正基‹ei下,分量为ui的矢量也常常表示为(u1,u2,u3).给定下述三个矢量:g1=(1,4,3),g2=(2,−1,5),g3=(6,8,1)(i)求证:‹gi不是非标正基;(ii)求算:gi在‹ei下的表示;(iii)求算:gij=gi·gj和gij=gi·gj,(iv)求算:分别以gij和gij为系数的两个矩阵相乘的值.练习4对于三维空间任意矢量u,v,证明Cauchy-Buniakowski布涅柯夫斯基不等式|u·v|≤|u||v|且等号成立的充分必要条件是u,v平行.1.2有限维矢量空间和内积空间要更好地理解并能灵活应用张量,仅仅有三维空间的矢量概念和直观想象力是不够的,需要建立任意有限维的矢量概念,并能有一定程度上的灵活把握.为次,本节将从数学上严格定义一般意义下的矢量,并讨论其基本性质.1.2.1矢量和矢量空间如果对一个集合V的元素可以定义所谓的