非线性科学研究内容以及研究领域-第一讲非线性科学的发展简

第一讲非线性科学的发展简史与研究内容南京大学天文系周济林[e-mail]《非线性动力学引论》什么是非线性？•什么是线性？•满足线性叠加原理的系统称线性系统。•例如：•若是方程（1）的解，有•也是方程（1）的解,则（1）为线性系统，例如：•否则为非线性系统。(,)dxdtfxt=(,)fxtaxb=+12(),()xtxt12()()xtxt+（1）薛定谔方程是线性方程！222(,)[()](,)tmixtVxxtψψ∂∂=−∇+•关于满足叠加原理•转化成观测量（平均位置、动量）的方程则是非线性的。(,)xtψ线性系统的例子谐振子：22dxdtmkx=−00cos()kmxxtφ=+22gdldtθθ=−线性摆：00cos[()]glttθθ=−线性系统的来源•（1）一些物理规律本身是线性的：如Schrodinger方程，Maxwell方程：•（2）系统在某一参数范围内是线性的：Hubble定律：Hooke定律：欧姆定律：Fourier热传导方程:牛顿粘性定律：菲克质量扩散定律：•（3）某些问题的简化数学描述：Laplace-Lagrange长期摄动理论121211121212121112121212dhdtdhdtdkdtdkdtaakaakaahaah==−sin,cosjjjjjjhekeϖϖ==1,0ttJερµµε∂∂∂∂∇=∇=∇×=−∇×=+BEEBEBiiFkx=dudyFAµ=yFudTdyqkA=−UIR=ddyjDρ=−0cHrz=x线性系统通常是非线性系统在一定范围的近似如：线性摆是单摆在小振幅下的近似22singdldtθθ=−单摆：线性系统的特征•几何上：有序、整数维•分析上：可解，现象比较单一•对初值不敏感•对于演化系统，在有限时间内一般不会出现奇性•已经有相当多的处理方法：线性代数方程组求解、Fourier级数展开，积分变换(Fourier变换，Laplace变换等)，复变函数理论等非线性系统的例子：•Lorenz系统83101028dxdtdydtdzdtxyxyxzzxy=−+=−−=−+简化的大气模型耗散系统，奇异吸引子初值敏感性－蝴蝶效应虫口模型：倍周期分岔与混沌1(1)nnnxxxµ+=−•LogistmapµxHenonmap•红：分形结构的吸引子•绿：吸引子上一点的稳定流形a=1.4,b=0.32111nnnnnxaxbyyx++=−+=•非双曲动力系统•b=1时保守标准映射：保守系统)2mod(,,sin111πθθθθ++++=+=nnnnnnIkII从有序到混沌非线性系统的一般特征•一般不可解（也存在可解的非线性系统，如单摆）；•相空间一般具有混沌的特征，即解对初值敏感（也存在有序的非线性系统）；•耗散系统相空间通常具有奇异吸引子（分形、无穷自相似结构）；•保守系统的相空间通常是有序与混沌并存；•演化系统在有限时间内出现奇性（如N体碰撞）非线性科学•存在于数、理、化、天、地、生等基础科学及其它应用科学中•研究所有自然科学与应用科学中非线性问题的共性问题•可形象的表示为：•非线性科学＝科学中的非线性问题∩非线性科学的研究领域•孤立子理论•非线性动力学•斑图•分形•复杂性•……孤立子（孤波）理论孤立子（Soliton）:非线性偏微分方程的非奇异特解θθθsin=−ttxx例如：sine-Gordon方程具有呼吸子解(breather))]})([(sinsec)])(sin[(cos){(tantan4001xxahttaa−−=−θ演示木星大红斑SG呼吸子演示－孤波对穿（1）空间局域化（能量比较集中于一个局域）；（2）单个孤子是一个行波解；（3）他们是稳定的；（4）两个孤子相互作用时出现弹性散射现象（即波形和波速能恢复到原状）。孤立子特点：KdV双孤子对穿（演示）KP方程的孤子研究内容•经典可积系统•寻找存在孤立子解的数学方程和(大)物理系统•求解孤立子的一般方法•孤波与湍流的关系•孤立子理论的应用•……非线性动力学（本课程重点）•常微分方程（保守或耗散）、映射中的混沌研究内容•保守系统中稳定性及轨道扩散•混沌控制与同步•随机动力系统•……斑图研究内容•非线性偏微分方程解的时空结构•斑图形成与演化•(大)物理系统中斑图•斑图动力学的应用分形简单分形Sierpinski地毯Koch曲线形形色色的分形研究内容•分形的产生•分形结构的描述•分形与动力系统特性的关系•分形微积分•……复杂性复杂性研究一个系统中合作效应、相干性、协同作用、突现行为、耗散结构、自组织等集体行为中的非线性效应。如：元胞自动机(CellularAutomata)空间网格化＋规则＝元胞自动机例：初态…01000000….规则为：每格点值为其与左邻元素之和…01100000….展开的二项式系数，所以可用于计算机内部函数设计()nab+…01210000….…013310000….邻近8格2～3格则活，其余死；1死格邻近有3个活格，则复生…014641000….1970’s:J.H.Conway:GameofLife(show)：自我复制？若空间无限，生命能否无限延续？ScientificAmerican本课程内容与目的•系统介绍非线性动力学基础知识•初步掌握处理非线性系统的一些基本方法本课程内容安排•引言1次，分形1次，孤子2次•非线性动力学8次,太阳系天体混沌运动4次本课程参考书~zjl/nl/nl.htm[1]E.Ott:ChaosinDynamicalsystems,CambridgeUniv.Press,1993[2]G.Contopoulos:OrderandchaosinDynamcalAstronomy,Springer,2002本课程ppt本节参考文献•谷超豪主编：《别有洞天－非线性科学》，湖南科学技术出版社•~kanamaru/Chaos/e/•（首页动画：周期受迫摆（Duffing系统）的相流，演示）