2012届高考调研数学(文)一轮复习课件解三角形：正、余弦定理应用举例)

课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）第2课时正、余弦定理应用举例课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考纲下载课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）通过三角形解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．近几年高考中，以三角形为背景进行三角函数的求值、判断三角形的形状和实际应用问题等类型的题目逐渐增多．如：2010年辽宁卷17题，福建卷18题等.请注意!课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）1．正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角课前自助餐课本导读课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如②)．(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）1．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ.则θ的值为()A．15°B．10°C．5°D．20°答案A教材回归课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）解析如图所示，由已知AE＝30·sin2，AE＝103·sin4θ，所以30·sin2θ＝103·sin4θ，所以cos2θ＝32，因为2∈(0°，90°)，所以2θ＝30°，所以θ＝15.课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）2．(2011·《高考调研》原创题)如图，在2011年6月““舟曲特大泥石流””灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达O处发现另一生命迹象，这时它它向右转135°后继续前进可回到出发点，那么x＝________.答案1063课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）解析∵∠BOA＝45°，∠A＝180°－75°－45°＝60°∴xsin45°＝10sin60°，∴x＝1063.课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）3．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB，AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．答案A课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）题型一测量距离问题授人以渔例1如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【解析】在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝asin105°sin45°＝3＋12a.②课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°＝22a.课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）探究1这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）思考题1隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C、D两点，同时测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．【解析】如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝3.课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）在△BCD中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理，可得BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，即AB2＝(3)2＋(6＋22)2－23×6＋22cos75°＝5，∴AB＝5(千米)．所以两目标A、B之间的距离为5千米．课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）在△BCD中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理，可得BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，即AB2＝(3)2＋(6＋22)2－23×6＋22cos75°＝5，∴AB＝5(千米)．所以两目标A、B之间的距离为5千米．课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）题型二测量高度问题例2要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．【解析】如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米．课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）探究2本题有两处易错点：(1)图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，从而致错；(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错．思考题2(2010·江苏卷，理)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）【解析】由AB＝Htanα，BD＝htanβ，AD＝Htanβ及AB＋BD＝AD，得Htanα＋htanβ＝Htanβ，解得H＝htanαtanα－tanββ＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124m.课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）题型三测量角度问题例3在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）【思路点拨】本例考查正弦、余弦定量的建模应用．如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.【解析】设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝6，课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∵CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°°103t＝12，∠BCD＝30°，即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）探究3首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．思考题3(09·宁夏海南)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）【解析】作DM∥AC交BE于N，交CF于M.由题中所给数据可得，DF＝MF2＋MD2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝BE－FC2＋BC2＝902＋1202＝150.课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）在△DEF中，由余弦定理得，cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22×DE×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）本课总结课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤是：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解．课前自助餐授人以渔课时作业高三数学（人教版）课时作业（24）