高中高考复习专项练习之数列的题型与方法(理科)

选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库专题二：数列的题型与方法一、考点回顾1．数列的概念，数列的通项公式与递推关系式差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2．判断和证明数列是等差（等比）数列常用三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11()nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法：①若1(1)()nkaandankd，则na为等差数列；②若，则na为等比数列。③中项公式法：验证都成立。3.在等差数列na中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当10a,d＜0时，满足的项数m使得mS取最大值.(2)当10a,d＞0时，满足的项数m使得mS取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。5.数列的综合应用：⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。6．注意事项：⑴证明数列na是等差或等比数列常用定义法，即通过证明11nnnnaaaa或11nnnnaaaa而得。⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。⑷注意一些特殊数列的求和方法。⑸注意ns与na之间关系的转化。如：na=,,11nnsss21nn，na=nkkkaaa211)(．⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．７．知识网络选校网(2)(2)(1)(1)()22()nnnnnnmpqnnnnaqnaaaqaadnaandnnnSaanadaaaamnpq两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()nnnnmpqaaqaqqqqSnaqaaaamnpq等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他二、经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例题1.（2007年5月上海市十一所实验示范校）（1）数列{an}和{bn}满足)(121nnbbbna（n=1，2，3…），（1）求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列。（2）数列{an}和{cn}满足*)(21Nnaacnnn，探究}{na为等差数列的充分必要条件。[提示：设数列{bn}为)3,2,1(2naabnnn分析：本题第（1）问的充要条件的解决可以分别设出等比、等差数列的通项；对探究问题我们通常采用的是先假设再论证。证明：（1）必要性若{bn}为等差数列，设首项b1，公差d则dnbdnnnbnan21)2)1((111选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∵,21daann∴{an}为是公差为2d的等差数列充分性若{an}为等差数列，设首项a1，公差d则ndadndnanbbbn)(])1([12121)2()1)(()1(12121nndandbbbn∴)2()2(21ndadnbn当n=1时，b1=a1也适合∵bn+1－bn=2d，∴{bn}是公差为2d的等差数列（2）结论是：{an}为等差数列的充要条件是{cn}为等差数列且bn=bn+1其中2nnnaab（n=1，2，3…）点评：本题考查了等差、等比数列的基本知识，但解决起来有一定的难度，同时还需要对问题进一步深入下去。例题2.（2007年5月上海市宝山区）已知数列na的首项121aa（a是常数，且1a），24221nnaann（2n），数列nb的首项1ba，2nabnn（2n）。（1）证明：nb从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设nS为数列nb的前n项和，且nS是等比数列，求实数a的值；（3）当a0时，求数列na的最小项。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a的不同而要分类讨论。解：（1）∵2nabnn∴22211)1(2)1(4)1(2)1(nnnanabnnnnnbna2222(n≥2)由121aa得24aa，22444baa，∵1a，∴20b，即{}nb从第2项起是以2为公比的等比数列。（2）1(44)(21)34(22)221nnnaSaaa当n≥2时，111(22)234342(22)234(1)234nnnnnSaaaSaaaa选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∵}{nS是等比数列,∴1nnSS(n≥2)是常数，∴3a+4=0，即43a。（3）由（1）知当2n时，2(44)2(1)2nnnbaa，所以221(1)(1)2(2)nnanaann，所以数列na为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……显然最小项是前三项中的一项。当1(0,)4a时，最小项为8a-1；当14a时，最小项为4a或8a-1；当11(,)42a时，最小项为4a；当12a时，最小项为4a或2a+1；当1(,)2a时，最小项为2a+1。点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。考点二：求数列的通项与求和例题3.（2007年5月湖北省十一校）.已知数列{}na中各项为：12、1122、111222、……、111n个222n个……（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n项之和Sn.分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。解：（1）12(101)10(101)99nnnna1(101)(102)9nn101101()(1)33nn记：A=1013n,则A=333n为整数na=A(A+1)，得证个选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(2)21121010999nnna2422112(101010)(101010)999nnnSn2211(101110198210)891nnn点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例题4.(2007年5月深圳市)已知数列na满足411a，),2(2111Nnnaaannnn．（Ⅰ）求数列na的通项公式na；（Ⅱ）设21nnab，求数列nb的前n项和nS；（Ⅲ）设2)12(sinnacnn，数列nc的前n项和为nT．求证：对任意的Nn，74nT．分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解：（Ⅰ）12)1(1nnnaa，])1(1)[2()1(111nnnnaa，又3)1(11a，数列nna11是首项为3，公比为2的等比数列．1)2(3)1(1nnna，即123)1(11nnna.（Ⅱ）12649)123(1121nnnnb．9264321)21(1641)41(19nnSnnnnn．（Ⅲ）1)1(2)12(sinnn，1231)1()2(3)1(111nnnnnc．当3n时，则12311231123113112nnT212211211321])(1[28112312312317141nn选校网])21(1[6128112n．321TTT，对任意的Nn，74nT．点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列na的通项na，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。考点三：数列与不等式的联系例题5.（2007年5月莆田四中）已知为锐角，且12tan，函数)42sin(2tan)(2xxxf，数列{an}的首项)(,2111nnafaa.⑴求函数)(xf的表达式；⑵求证：nnaa1；⑶求证：),2(21111111*21Nnnaaan分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。解：⑴1)12(1)12(2tan1tan22tan22又∵为锐角∴42∴1)42sin(xxxf2)(⑵nnnaaa21∵211a∴naaa,,32都大于0∴02na∴nnaa1⑶nnnnnnnaaaaaaa111)1(11121∴11111nnnaaa∴1322121111111111111nnnaaaaaaaaa1111211nnaaa∵4321)21(22a,143)43(23a,又∵nnaan12∴131aan∴21211na选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴2111111121naaa点评：