八年级数学竞赛培训：勾股定理

八年级数学竞赛培训：勾股定理一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）（2001•重庆）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=_________．2．（4分）如图所示，在△ABC中，AB=5cm，AC=13cm，BC边上的中线AD=6cm，那么边BC的长为_________cm．3．（4分）如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是_________．4．（4分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为_________．5．（4分）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为_________．6．（4分）（2001•山东）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′=_________BC．7．（4分）（2008•扬州）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于_________．28．（4分）如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，则AD=_________．9．（4分）如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是_________cm2．二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）10．（5分）如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（）10题12题13题15题A．等于1米B．大于1米C．小于1米D．不能确定11．（5分）若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对12．（5分）（1999•广西）如上图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）A．4B．5C．2D．13．（5分）如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GHB．AB、EF、GHC．AB、CD、GHD．AB、CD、EF14．（5分）在锐角三角形ABC中，a=1，b=3，那么第三边c的变化范围是（）A．2＜c＜4B．2＜c＜3C．2＜c＜D．2＜c＜15．（5分）如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）A．B．C．D．16．（5分）△ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，这三边的高依次为ha、hb、hc，若a≤ha，b≤hb，则这个三角形为（）A．等边三角形B．等腰非直角三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形17．（5分）如左下图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（）3A．CF＞GBB．GB=CFC．CF＜GBD．无法确定18．如由上图（5分）（2003•山东）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．13B．19C．25D．169三、解答题（共12小题，满分0分）19．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h．求证：．21．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．22．（2010•武义县模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形．（1）使三角形三边长为3，，；（2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4．23．（1998•上海）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．24．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．25．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=8，CF=6．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求△DEF的面积．426．在△ABC中，AB=AC．（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2﹣AP2；（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）27．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由．28．如图，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=，求AC的长．29．（2003•烟台）（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图（1）．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）30．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明：BD2=AB2+BC2．5新课标八年级数学竞赛培训第13讲：勾股定理参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）（2001•重庆）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=1．考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理．704299分析：由等腰直角三角形ABC中，AB=，由勾股定理可知AC=AB=1，再证△ADC≌△BDE，从而推出BE=AC=1．解答：解：∵等腰直角三角形ABC中，AB=，∴AC=AB=1，∵等边△ABD和等边△DCE，∴AD=BD，CD=ED，∠ADB=∠CDE，∴∠ADC=∠BDE，在△ADC和△BDE中，，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴BE=AC=1．点评：解决本题的关键是利用三角形全等得到所求线段的转化．2．（4分）如图所示，在△ABC中，AB=5cm，AC=13cm，BC边上的中线AD=6cm，那么边BC的长为cm．考点：勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．704299分析：延长AD到E，使DE=AD=6，连接CE，可证△ABD≌△ECD，利用勾股定理的逆定理可求∠AEC=90°，再利用勾股定理，即可求出CD的长，进而求出答案．解答：解：延长AD到E，使DE=AD=6，连接CE，∵BD=CD，∠ADB=∠CDE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB=5，∵AC2=AE2+CE2即132=122+52，6∴△AEC为直角三角形，即∠E=90°，∴△DEC为直角三角形，∴CD=，BC=2CD=2（cm），故填．点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和勾股定理的逆定理即可解决问题．3．（4分）如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是150°．考点：旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．704299专题：计算题．分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数．解答：解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．故答案为150°．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．4．（4分）如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为1994004．7考点：勾股定理．704299专题：计算题；因式分解．分析：设斜边为y，另一直角边为x，则存在y2﹣x2=19972，题目中要求x、y为整数，根据因式分解可以求出x、y的数值即可解题．解答：解：设斜边为y，另一直角边为x，则存在y2﹣x2=19972，即（y+x）（y﹣x）=19972，x，y均为整数得，解得x=1994004，故答案为1994004．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了因式分解的解题方法，本题中运用因式分解法计算x、y是解题的关键．5．（4分）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为．考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式．704299专题：计算题．分析：首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高．解答：解：∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，∴（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴这个三角形最长边上的高为：5×12÷13=．故答案为：．点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长．6．（4分）（2001•山东）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′=BC．考点：翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形．704299专题：压轴题．分析：设BD=x，则BC=2x；根据折叠的性质可得，找出对应的边角即可求出．8解答：解：BD=C′D=x，∠BC′D=∠ADC=45°，可得∠C′DB=90°；故BC′=BC．点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．7．（4分）（2008•扬州）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于．考点：