工程电磁场--第1章--矢量分析和场论基础

1基本内容：（1）矢量运算的有关公式（2）场的基本概念（3）标量场的等值面方程和矢量场的矢量线方程（4）源点和场点的基本概念及其相互关系（5）梯度的定义（6）散度的定义（7）旋度的定义（8）哈米尔顿算子的定义和运算规则第1章矢量分析与场论基础重点掌握：梯度、散度和旋度的定义、计算公式和运算规则，以及散度定理、斯托克斯定理、格林定理和亥姆霍兹定理。21.矢量代数公式（１）标量、矢量和单位矢量标量是只有大小，没有空间方向的量。例如，温度、湿度、电位等。标量一般用斜体字母表示。矢量是不仅具有大小，而且具有空间方向的量。例如，力、速度等。矢量一般用斜体加粗字母表示；手写时可在字母上方画一个箭头，例如写成A。1.1矢量分析公式3矢量的大小用绝对值表示，称为矢量的模。对于矢量xxyyzzAAAAeee它的模222xyzAAAAA可见矢量的模是大于等于0的数。其中，xyy、、eee为单位矢量，用来表示方向。1.1矢量分析公式模为１的矢量叫做单位矢量，用e表示。如xyy、、eee分别表示与直角坐标系中x，y，z三个坐标轴同方向的单位矢量。可以用矢量的分量之和表示一个矢量，如在直角坐标系中写成xxyyzzAAAAeee它的模222xyzAAAAA也可以用矢量的模和与矢量同方向的单位矢量来表示该矢量，单位矢量yxzAxyyAAAAAA++eeee与矢量A同向，则A可写为AAAe5xxyyzzAAAAeee345xyzAeee22234550AAAAAe例题345xyzeeeA345505050yxzAxyyxyyAAAAAAeeeeeee++++矢量模同方向的单位矢量所以6（２）矢量的加减法矢量的加法满足平行四边形法则；矢量的减法满足三角形法则。xxyyzzxxyyzzxxxyyyzzzAAABBBABABABAeeeBeeeABeee7xxyyzzAAAAeee23xyzAeee例题矢量456xyzBeee579xyzABeee333xyzABeee8（３）矢量的数乘式中，λ为实数。（４）矢量的点积式中，θ是矢量Ａ，Ｂ之间的夹角，Ｂcosθ是矢量Ｂ在矢量Ａ方向上的投影Ａcosθ是矢量Ａ在矢量Ｂ方向上的投影。点积的结果为标量。xxyyzzAAAAeeecosxxyyzzABABABABAB9式中，为实数和ABBACABCACBABAB22AAAAAA10xxyyzzAAAAeee23xyzAeee例题矢量456xyzBeee246xyzAeee14253632AB211（５）矢量的叉积式中，en是与矢量Ａ和Ｂ都垂直的单位矢量，Ａ，Ｂ和en构成右手螺旋关系；θ是矢量Ａ，Ｂ之间的夹角。图中灰色部分平行四边形的面积就是Ａ和Ｂ叉积的模。叉积的结果仍为矢量sin+nyzzyxzxxzyxyyxzxyzxyzxyzABABABABABABABAAABBBABeeeeeee12（５）矢量的叉积AB与BA模相等方向相反ABBA0AA（0）13xxyyzzAAAAeee23xyzAeee例题矢量456xyzBeee(2635)(3416)(1524)363xyzxyzABeeeeee14（６）矢量的混合积ABCBCACABABCBACCAB15２．矢量函数的微分公式1）ddddddddyxzxyzAAAttttAeee2）dd+d+dxxyyzzAAAAeee3）d0dtC（C是常矢量）4）ddddddtttABAB16２．矢量函数的微分公式5）ddddkkttAA（k是常数）6）dddddduuutttAAA7）ddddddtttBAABAB8）ddddddtttBAABAB9）设,uuutAAddddddututAA３．矢量函数的积分公式1）d[d][d][d]xxyyzzttAttAttAttAeee2）dtttABC（tB：tA的原函数C：任意常矢量）3）dddtttttttABAB4）ddkttkttAA（k：常数）185）ddttttCACA（C：常矢量）6）ddttttCACA（C：常矢量）191.2场的基本概念和可视化1场的基本概念假设在空间某个确定区域内的任意点都对应着一个确定的物理量，则称这个物理量为一个场。从数学的角度看，就是在该区域内定义了一个函数。场中的每一点都对应着一个物理量——场量的值。20场的分布区域成为场区。当场区内定义的函数随时间变化时，时间作为参数出现，场为时变场。不随时间变化的场称为稳恒场。不随空间位置变化的场称为均匀场。场量为标量的场称为标量场，如温度场、能量场、电位场等。场量为矢量的场称为矢量场，如速度场、电场和磁场等。211.2场的基本概念和可视化1场的基本概念场在我们周围无时不在、无处不在，我们每天处于温度场、重力场、电场、磁场等中。我们周围的电路和电子产品都会产生电磁场；地球本身也会产生地磁场，人们利用地磁场发明了指南针。22定义了场量的空间点称为场点。在直角坐标系中，场点Ｍ可以由它的三个坐标x，y，z确定。因此，一个标量场和一个矢量场可分别用坐标的标量函数和矢量函数表示，即uMux,y,zMx,y,zAA23式中，函数分别为矢量函数Ａ在直角坐标系中三个坐标轴上的投影，为三个标量函数；分别为x，y，z轴正方向的单位矢量。其中，矢量函数Ａ(Ｍ)的坐标表示式可写成下式：xyzAAA、、xyyeee、、()(,,)(,,)(,,)xxyyzzMAxyzAxyzAxyzAeee24矢量的方向除了可以用直角坐标系三个分量表示外，还可以用矢量与三个坐标轴的夹角表示。图中，若用α，β，γ分别表示矢量Ａ与三个坐标轴正方向之间的夹角，称为方向角。称为方向余弦。根据矢量与其分量之间的关系，矢量函数Ａ(Ｍ)可写成coscoscos、、coscoscosxyzMAAAAeeecosxAA；cosyAA；coszAA25如果场中的物理量不仅与点的空间位置有关，而且随时间变化，则称这种场为时变场；反之，若场中的物理量仅与空间位置有关而不随时间变化，则称这种场为恒定场（稳恒场）。26２．源点与场点一般来说，场是由场源产生的。场源所在的空间位置称为源点。空间位置上除了定义场量外，也可以定义场源量。这样，可以把空间的点表示为场点和源点。在研究场的性质的过程中，R是一个非常重要的矢量，因为它联系着源点与场点，决定着场量与场源之间的空间关系。28３．标量场的等值面式中，Ｃ为常数。给定Ｃ的一系列不同的数值，可以得到一系列不同的等值面，称为等值面族。设标量场u(M)是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的任何一点M0，可以作出这样的一个曲面S，在它上面每一点处，函数u(M)的值都等于u(M0)，即在曲面S上，函数u(M)保持着同一数值u(M0)，这样的曲面S叫做标量场u的等值面。等值面的方程为ux,y,zC2930（1）等值面族可以充满整个标量场所在的空间。等值面互不相交，因为如果相交，则函数u(x,y,z)在相交处就不具有惟一的值。（3）用等值面族表示标量场时，一般将每两个相邻等值面场量值之差设为定值。这样可以根据等值面的稀密程度观察场量的空间分布。（2）场中的每一点只与一个等值面对应，即经过场中的一个点只能作出一个等值面。电磁场中的电位场是一个标量场，由电位相同的点所组成的等值面叫做等电位面。点电荷电位方程等位面方程04qrUr04qrr04qrU32标量场的等值面与一给定平面相交，就得到标量场在该平面上的等值线。如u(x,y,z)在XOY平面上的等值线，其方程为(,,0)()uxyCC为常数33例求标量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为220xyzzxy34习题1-122=1(2)=TxyTxy求下列温度场的等温线(1)(1)=TxyTxyccyx解：等温线方程为解得为双曲线族22221==1=Tcxyxyc（2）解：等温线方程为解得为园族35习题1-22222211;2;3ln()uuzxyuxyzaxbycz求下列标量场的等值面：11=1-110ucaxbyczaxbycz/c解：等值面方程为解得2222xyzc解得2223cxyze解得36４．矢量场的矢量线等值面族可以形象地描述标量场。对于矢量场，可以用矢量线来形象地表示其分布情况。所谓矢量线，是指其上每一点处曲线的切线方向和该点的场矢量方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方向。一般来说，矢量场中每一点有一条矢量线通过。所以，矢量线应是一族曲线，它可以充满整个矢量场所在的空间。38已知场矢量Ａ＝Ａ(x,y,z)可用下述方法求得矢量线方程。设M(x,y,z)为矢量线l上的任一点，其矢径（始点位于坐标原点，终点位于Ｍ点的距离矢量）为xyzxyzreee则矢量微分dddddxyzxyzlreee39为在点Ｍ处与矢量线相切的矢量。按矢量线的定义，矢量微分必定在Ｍ点处与场矢量方向相同，而场矢量为这便是矢量线所满足的微分方程，其解为矢量线族。再利用过M点这个条件，即可求出过M点的矢量线。(,,)(,,)(,,)xxyyzzAxyzAxyzAxyzAeee则有xyzdddxyzAAA40因矢量线的切线方向与场矢量的方向相同，所以矢量线方程又可以用矢量式表示为dlA0将各分量代入得在电磁场中，电场强度线和磁感应强度线都是矢量线。dddddd0zyxxzyyxzyAAzzAAxxAAyeeedd0dd0dd0zyxzyxyAAzzAAxxAAyxyzdddxyzAAA41习题1-3=2xyzxyzMAeee求矢量场经过点（1,2,3）的矢量线方程。2122122dddddd2dddd2=2=323xyzxyzAx,Ay,Azxyzxyz,AAAxyzxyxz,,xyxzycx,zcxMccyx,zx解：由题意可得又，过（1,2,3），，即（联立）42习题1-4222=xyzyxxyyzAeee求矢量场的矢量线方程。2222222212==ddddddddddxyzxyzAyx,Axy,Ayzxyzxyz,AAAyxxyyzxyxzyxxzxyc,zcx解：由题意可知即，，可得（联立）435．场的其他可视化方法随着计算机图形技术的发展，场的可视化也有了进一步的发展。彩色云图表示的电位场用箭头表示的电场矢量图，箭头长度表示矢量场的大小，箭头方向为矢量场的方向。除等值面外，还可以用彩色云图表示标量场。除矢量线外，还可以用立体箭头将矢量场表示出来。446．平行平面场严格地说，所有的空间场都是三维场。在直角坐标系中，当场量不随其中的一个坐标（例如z坐标）变化时，就是平行平面场，三维场退化为二维场。457．轴对称场在圆柱坐标系中，当场量不随其中的坐标变化时，即为轴对称场，三维场退化为二维场。461.3标量场的方向导数和梯度1.方向导数的定义对于定义在某空间上的标量场，需要研究标量函数u(M)在其中的变化情