第3讲古典概型

我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为古典概型一、古典概型假定某个试验有有限个可能的结果假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.e1,e2,…，eN,常常把这样的试验结果称为“等可能的”.e1,e2,…，eN试验结果你认为哪个结果出现的可能性大？23479108615例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/1023479108615我们用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.称这样一类随机试验为古典概型.34791086152且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.S={1,2,…,10},则该试验的样本空间如i=2称这种试验为有穷等可能随机试验或古典概型.定义1若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.二、古典概型中事件概率的计算记A={摸到2号球}P(A)=?P(A)=1/10记B={摸到红球}P(B)=?P(B)=6/10223479108615132456这里实际上是从“比例”转化为“概率”记B={摸到红球}P(B)=6/10当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.23479108615这样就把求概率问题转化为计数问题.定义2设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.A包含的样本点数P(A)＝k/n＝S中的样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具.请回答：1、怎样的一类随机试验称为古典概型？2、如何计算古典概型中事件的概率？为什么这样计算？下面我们就来介绍如何计算古典概率.基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的1.加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm种方法.例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+2种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.mnnn212.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮23加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.三、排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：顺序不同是不同的排列3把不同的钥匙的6种排列而组合不管顺序从3个元素取出2个的排列总数有6种从3个元素取出2个的组合总数有3种623P323C1、排列:从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：k=n时称全排列!))((nnnnpPnnn1221排列、组合的几个简单公式)!(!)())((knnknnnnpkn121ABDC例如：n=4,k=3第1次选取第2次选取第3次选取BDCBCDBDC……2423434P2412344P从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)的不同排列总数为：knnnn例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法!)!(!!kknnkPCknkn2、组合:从n个不同元素取k个（1kn)的不同组合总数为：knC常记作kn，称为组合系数。!kCPknkn组合系数又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：kn3、组合系数与二项式展开的关系knknknbaknba0)(令a=-1,b=101210nnnnnn)(nnnnnn2210利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令a=b=1,得knknknbaknba0)(nmnmxxx)()()(111由221102010jnjjmjjnmjxjnxjmxjnm有比较两边xk的系数，可得iknimknmki0运用二项式展开4、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rk的分法总数为nrrrrrrnkk2121,!!!!r1个元素r2个元素rk个元素…n个元素kkrrrrnrnCCC211!!!!21krrrn因为请回答：对排列组合，我们介绍了几个计算公式？排列：选排列，全排列，下面我们就用这些公式来计算.分组分配.组合；允许重复的排列;四、古典概率计算举例例1把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：CISNCEE问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？拼成英文单词SCIENCE的情况数为故该结果出现的概率为：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.42200079.012601!74p解：七个字母的排列总数为7！这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.解：=0.3024允许重复的排列问：错在何处？例2某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同.从10个不同数字中取5个的排列510510Pp510510Cp例3设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.这是一种无放回抽样.解：令B={恰有k件次品}P(B)=？nNknMNkMBP)(次品正品……M件次品N-M件正品“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.需要注意的是：在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？下面的算法错在哪里？4102815)(AP错在同样的“4只配成两双”算了两次.97321456810从5双中取1双，从剩下的8只中取2只例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？正确的答案是：410252815)(AP请思考：还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个人，每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在N间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.人房设有k个不同的球,每个球等可能地落入N个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:Nk（1）某指定的k个盒子中各有一球；（4）恰有k个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；km（2）某指定的一个盒子恰有m个球()（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例5（分房模型）例5解kNn设(1)~(6)的各事件分别为61AA则!1kmAkANknmAP!)(11kkNNkCAP!)(4kkNNAP)1()(3kmkmkNNCAP)1()(2kkNkNkCNAP!)(5)(14APkANm)1(3mkmkANCm)1(2!4kCmkNA!5kCNmkNkA!6kCmkNA)()(46APAP3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n(n≤365)个人的生日互不相同的概率.人任一天3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N≥n)，求指定的n个站各有一人下车的概率.旅客车站3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸天你还可以举出其它例子，留作课下练习.“平分赌金问题”请看演示这一讲，我们介绍了古典概型.古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用.是常见的几种模型.箱中摸球分球入箱随机取数分组分配课下可通过作业进一步掌握.早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.请看演示把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.几何概率几何方法的要点是：1、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为μ(S);2、向区域S上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.3、设事件A是S的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为)()()(SAAP（*）4、假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把理解为长度或体积即可.)(例6一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀的刻有[0，4]上的各个数字，旋转陀螺，待它停下时，试问圆周与桌面的的触点落在[2.5，3.5]上的概率？1()4PA解：样本空间=[0，4],A=[2.5，3.5]，故测度可定义为长度，从而请看演示会面问题例7设两船到达同一码头的时间是随机的且各不相干.两船到达后需在码头停留的时间分别是1与2小时,试求一昼夜内,任一船到达时,需要等待空出码头的概率.解设船1与船2到达码头的瞬时为x与y，0x24，0y24设事件A表示“任一船到达时需要等待空出码头”.例7xy2424y=x224S22222321AS1207.01)(SSAPA}240,240),{(yxyx}20,10yxxy,),(),{(yxyxA设试验为“随机地向边长为1的01xY1正方形内投点”.事件A为“点投11111)(2121正方形蓝三角形黄三角形SSSAP由于点可能投在正方形的对角线上,所以事件A未必一定发生.)(AP求在黄、蓝两三角形内”,如图，实际上，许多随机试验的结果并不都是有限个，而且，