中科大力学教案-第五章动能定理

杨维纮杨维纮第五章动能定理在笛卡儿提出动量守恒原理后42年，德国数学家、哲学家莱布尼兹（Leibniz，1646~1716）提出了“活力”概念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样，莱布尼兹也相信宇宙中运动的总量必须保持不变，不过和笛卡儿不同，他认为应该用mv2表示这个量，而不是mv。莱布尼兹与笛卡儿关于mv2和mv之争，在历史上曾经历相当长时期的混乱，一百多年后，人们逐渐明白，这是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的“活力”守恒应归结为机械能守恒。永动机不可能实际上，永动机这个名词不太恰当。如飞轮之类，运动一经开始，若无摩擦作用，则可永久继续运动，这在实际上虽然不易实现，但于理说得通，可以看作一种实际的极限情形，此时没有动力输出，若说什么也不消耗，可以永久输出动力，此则非但不可实现，而且于理也说不通。所谓永动机，指的是人们幻想的一种机械装置，它一经启动，就自行运转下去，不断作出有用的功。企图制造永动机的昀早记载，大约出现在13世纪。此后各种永动机的设计层出不穷，一直延续到19世纪工业革命后，势头才有所减弱。即使到今天，还不时有人提出一些实质上是永动机的装置，只不过它们伪装得更好，更不易被识破罢了。永动机不可能千万次的失败并没有使所有的人认输，总有一些人陷在永动机梦想的泥潭里不能自拔，并死死纠缠着要别人接受他们的设计方案。在这种情况下巴黎科学院在1775年不得不通过决议，正式宣告拒绝受理永动机方案。这说明在当时科学界，已经从长期所积累的经验中，认识到制造永动机的企图是没有成功的希望的。人们的原始概念，乃是“人力有限”，如果我们能够没有任何消耗而得到永久工作，那将是人力无限了！这种事情未免太好，好得令人难以置信。直到现在，美英等许多国家的专利局都订有限制接受永动机方案的条款。永动机不可能现在人们常用能量守恒定律来否定永动机，而19世纪能量守恒定律的三个创始人之一——亥姆霍兹（1821~1894）当年却是用不可能有永动机来论证能量守恒定律的。他在《论自然力的相互作用》一文中写道：“……鉴于前人试验的失败，人们……不再询问：我如何能够利用各种自然力之间已知和未知的关系来创造一种永恒的运动，而是问道：如果永恒的运动（指永动机）是不可能的，在各种自然力之间应该存在什么样的关系？”在19世纪初期用机械功测量活力已引入动力技术著作中。1820年后，力学论文开始强调功的概念。1829年，法国工程师彭塞利（Poneclet，1788~1867）在一本力学著作中引进“功”这一名词。之后，科里奥利在《论刚体力学及机器作用的计算》一文中，明确地把作用力和受力点沿力的方向的可能位移的乘积叫做“运动的功”。功作为能量变化的量度为研究能量转化过程奠定了一个定量分析的基础。时至今日，物理学中并没有告诉我们能量究竟是什么，也没有说出各种表达式的机理。所谓永动机，指的是人们幻想的一种机械装置，它一经启动，就自行运转下去，不断作出有用的功。人们的原始概念，乃是“人力有限”。重力势能在下面的推理中，我们的前提是永动机不可能。它的依据是从千千万万人的实践中总结出来的经验事实。人们曾设想过各式各样的永动机，这里我们只讨论举重机械。如果有这样一架举重机械，当人们运用它完成一系列操作之后，装置回到了初始状态，在此过程中产生的净效果，是把一定的重量提升了一定的高度，则我们说，这就是一架永动机。有了这样一架举重的机械，完成其它操作的永动机就都变为可能的了。因而我们只需假设，这种举重式的永动机是不可能的。重力势能作为昀简单的举重装置之一，我们追随斯泰芬，也研究斜面装置。不过为了简化讨论，我们把装置改为如图所示的形式。设小球重量为mg，大球重量为Mg，在摩擦力趋于零的情况下，静力学平衡时，我们有Mgsinθ=mg,如果小球拖得动大球的话，则以小球降低高度h为代价，把大球提升高度h/=hsinθ，于是：mghMghhMg==′θsin上面得到的式子是由斜面这个具体装置推导出来的，我们的问题是：无论用什么举重机械，以重物下降一个高度为代价，至多能够把多少重量上举一个高度？要普遍地回答这个问题，用本课前面已有的力学知识就不行了。下面我们从热学中卡诺（SadiCarnot,1796~1832）那里借来一种绝妙的推理方法。重力势能我们把各种机械装置分成可逆的和不可逆的两种。所谓可逆装置，就是它既能够以重物m的高度降低h为代价，把重物M提升一个高度h/，又能够以重物M的高度降低h/为代价，把重物m提升一个高度h。我们说，理想的无摩擦装置是可逆的。显然，“可逆”和“不可逆”的概念可以推广到任何装置。结论是：在给定的情况下，2.所有可逆装置的M都相等。1.所有不可逆装置的M都不大于可逆装置；下面用归谬法来论证这两个结论。重力势能如果某个不可逆装置在同样的条件下举起的重量M/g可逆装置举起的重量Mg，我们就能够从M/中分出一部分M来，以它降低高度h/为代价，反向操作那个可逆装置，把不可逆装置中降下来的重物mg恢复到原来的高度h。这样一来，在其它所有状态都复原的情况之下，产生的净效果是把一个重量为(M/－M)g的重物提升了一个高度h/。这就导致永动机成为可能的荒谬结论。所以，上面的前提不能成立，实际情况应该是，此即上述的结论1。如果有两个可逆装置A和B，在重物m的高度降低h的同样条件下，能够把重量分别为MA和MB的物体提升一个高度h/，则利用上述推理不难得知：由于装置B可以反向运行，只要永动机不可能，就应有MA≤MB；由于装置A也可以反向运行，只要永动机不可能，就应有MB≤MA。昀后只能是MA=MB，此即上述的结论2。重力势能无摩擦的斜面是一种可逆的举重装置，既然所有的可逆装置提升的重量都一样，故上式适用于一切可逆装置。于是我们得到一条普遍的规律：在装置可逆的条件下，重量和高度的乘积这个量是守恒的，它代表一种潜在的作功本领，我们称它为物体的重力势能，记为，即：mghEp=动能我们利用无摩擦的单摆来求运动物体的动能，如图所示。假定摆锤从某一高度自由下摆，便可来回摆动。当摆锤摆到昀低点时，势能将减少，这部分减少了的势能跑到哪里去了？观察摆锤运动，可以看到它会再次爬上来，可见失去的重力势能必定转变为另一种形式的能量，显然它是靠自己的运动才重新爬上来的，这是一种由于摆锤的运动所具有的能量。依能量守恒原理摆锤能够上升的高度与上升机制无关，即与上升路径无关。但动能一定等于初始自由下摆时的重力势能。为写出动能的形式，假如以昀低点处同一速度竖直向上抛出这个物体，达同样高度，依运动学公式有关系式。所以这个动能Ek可写为：221mvEk=动能当然，物体因运动具有能量与物体是否处于重力场中无关。只要物体运动，均有动能。顺便指出，重力势能（重量与高度的乘积）的表达式mgh和动能表达式mv2/2都是近似公式。前者在高度很大时不正确，因为假定了重力为常量；后者在高速运动时要给予相对论性修正，因为假定了质量m是绝对量。然而，当考虑了这些因素，给出精确表达式后，能量守恒定律仍然正确。弹性势能和其它能量形式)(0xxkmgdtdvm−−=dxxxkmgdxmvdv)(0−−=dxxxkxdmgdvvmhxxhxx)(0000000−−=∫∫∫++对从x=x0到x=x0+h积分，在此过程的两头速度v都等于零，有：即：221khmgh=20)(21xxkEp−=我们得到弹性势能：弹性势能和其它能量形式如果此装置是一个理想的可逆装置，弹簧一端的物体将不断来回振动。实际情况是，振动将会逐渐减弱，直至趋于静止。当弹簧不再振动时，能量又到哪里去了呢？因为能量是守恒的。由此，可以发现另一种形式的能量：热能。众所周知，在弹簧或一般机械装置中有着大量原子组成的晶体。当弹簧运动或机器运转时，由于材料本身的缺陷，产生撞击和跳动，材料中的原子加剧无规则摆动，与此同时，发现机械运动减慢了，直至趋于静止，但动能依然存在，只是它与看得见的机械运动没有联系。我们如何知道动能仍然存在呢？这可以通过弹簧或机器变热加以判定。材料温度的提高是材料内部原子无规则振动动能增加的证明。我们称这种形式的能量为热能，它是材料内部原子无规则运动的动能。弹性势能和其它能量形式以上分析可知：1.能量守恒定律极其有用，上面分析的几个简单例子中已经说明了这一点。2.如果我们找到了各种能量的表达式，那么可以不必分析物理过程的细节就可以知道应当发生的某些结论。3.因此不仅是能量守恒定律，其它守恒定律也一样让我们产生浓厚的兴趣，在下一章我们还要讲述角动量守恒定律，这就是从大到小的研究顺序的独到之处。4.目前我们并没有深刻理解守恒定律，下章末将说明，能量守恒定律与时间平移对称性有关，动量守恒定律与空间的平移对称性有关。由此可见，把握了大的总体的方面，我们会对物理有深刻的理解。5.1.1质点动能定理对于直线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有：dtdsFFvdtdvmvmvdtddtdEk===⎟⎠⎞⎜⎝⎛=221FvdtdEk=FdsdEk=即：∫=−=−ttkkFdsmvmvEE020202121这是元过程的表达式，对于有限过程，则可以两边积分得：5.1.1质点动能定理对于一般的曲线运动，我们有：212kdEdddmvmdtdtdtdt⎛⎞==⋅=⋅=⋅⎜⎟⎝⎠vrvFvF即：kdEdt=⋅FvkdEd=⋅FrP=⋅Fv一个物体动能的时间变化率等于作用在该物体上的力传递给物体的功率。002200t11()()cos22ttkkktEEEmvtmvtdFdsθΔ=−=−=⋅=∫∫Fr定义：功率元功d⋅Fr5.1.1质点动能定理质点动能定理：即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内的一种表述。上面所讨论的是单质点动能定理，其对象是单质点系统。002200t11()()22coskkktttEEEmvtmvtdFdsθΔ=−=−=⋅=∫∫Fr5.1.1质点动能定理由质点动能定理及其推导可知：1.做功是通过力来实现的；2.做功的多少与路径有关；3.质点动能定理成立的参考系为惯性系。5.1.2功和功率物理学上的功定义为力F与位移元dr标积的线积分，若以A表示功，有：00costtttAdFdsθ=⋅=∫∫Fr其意思是：如果有一个力作用于物体上，同时物体在某一方向上发生位移，则只有位移方向上的分力作了功，与位移成直角的力不作功。Idon’tdoanywork,butIdofeelIdoingsomething!NoWorkhasbeendone?I’mreallysuffering!5.1.2功和功率那么为什么我们要取现在的定义去计算功呢？这是因为这样计算功是有意义的：作用在一个质点上的力所作的功，恰好等于该质点动能的变化。5.1.2功和功率单位时间所做的功称为功率：dAPdt==⋅Fv简单机械可以省力，但功率是不能放大的。在国际单位制中，力的单位是牛顿（N），功的单位则为牛顿·米（N·m），通常把1牛顿·米称作1焦耳（J），由上面给出的势能、动能、功的定义不难验证，它们具有相同的量纲。功率的单位是焦耳/秒，也称瓦（W）。如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家用电量时，常采用千瓦·小时来计量用电量的多少，1千瓦·小时等于1千瓦乘3600秒，即3.6×106焦耳。5.1.3质点系动能定理111213122122323313233123nnnnnnnnmmmm=++++⎧⎪=++++⎪⎪=++++⎨⎪⎪=++++⎪⎩rFfffrfFffrffFfrfffFiniiiiiiikikiAAAAAAtEtE+++++++=−+−)1()1(210)()(000000012(1)(1)ttttiiiiiiiiitttttttiiiiiiinitttmdtdtdtdtdtdtdt−+⋅=⋅+⋅+⋅+++⋅+⋅++⋅∫∫∫∫∫∫∫rrFvfvfvfvfvfv5.1.3质点系动能定理iniiiiiiikikiAAAAAAtEtE+++++++=−+−)1()1(210)()(其中：0tiiitAdt=⋅∫Fv0tijij