中科大力学教案-第六章角动量定理

杨维纮杨维纮第六章角动量定理在描述转动的问题时，我们需要引进另一个物理量——角动量。这一概念在物理学上经历了一段有趣的演变过程。18世纪在力学中才定义和开始利用它，直到19世纪人们才把它看成力学中的昀基本的概念之一，到20世纪它加入了动量和能量的行列，成为力学中昀重要的概念之一。角动量之所以能有这样的地位，是由于它也服从守恒定律，在近代物理学中其运用是极为广泛的。§6.1孤立体系的角动量守恒第4章我们介绍了与平动相联系的守恒量——动量，对于转动我们希望能找到这样一个物理量——角动量，它具备以下的条件：1.若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非零值表示质点关于该空间点作转动；2.对于孤立体系，它保持守恒。下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。6.1.1单质点孤立体系和掠面速度单质点的孤立体系就是不受外力作用的自由质点，它作匀速直线运动（我们取惯性参考系，且静止看成是匀速直线运动的特例）。如图，设该质点位于P点，沿直线AB从A向B方向运动，在相等的时间间隔⊿t的位移是⊿s=v⊿t。我们在AB上取一个参考点Q，随着P点的运动，由于QP的方向不发生改变，故P点相对于Q点没有转动。但如果参考点取不在AB上的点，譬如O点，由于OP的方向（即r的方向）在不断改变，故P点相对于O点有转动。我们现在来寻找守恒量。6.1.1单质点孤立体系和掠面速度常量==ΔΔ=θθsin21sin21rvtsrS该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微商为零：0=dtdS6.1.1单质点孤立体系和掠面速度考虑多个质点，仅考虑某一个平面就不行了，我们可以利用矢量运算法则，将掠面速度定义为与该平面垂直的矢量。即：12=×Srv这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量是掠面速度矢量S。当然，它与参考点的选择有关，若参考点选在直线AB上，则掠面速度为零。6.1.2两个质点的孤立体系和角动量对于两个质点的孤立体系，它们虽然不受外力作用，但两个质点之间是有作用力的。我们现在来寻找守恒量，首先我们能想到的是它们每个质点掠面速度的和。为此，在空间建立惯性参考系，如图，两个质点的质量分别为m1,m2，其位矢和速度分别为r1,r2和v1,v2。设其掠面速度分别为S1,S2，有：11112=×Srv22212=×Srv6.1.2两个质点的孤立体系和角动量而掠面速度对时间的微商为：1122iiiiiddddtdtdt=×+×Srvvr1122iiiiddt=×+×vvvr12iiddt=×vr其中i=1,2。为了对上式中的i求和，我们列出质点运动的牛顿方程：11dmdt==12vff221dmdt==−2vff111111122dddtdtm=×=×Svrrf222221122dddtdtm=×=−×Svrrf120dddtdt+≠SS因m1,m2可以为任意值，故6.1.2两个质点的孤立体系和角动量但从前几式可看出：112212(22)()0dmmdt+=−×=SSrrf其中利用了牛顿第三定律：f的方向沿两质点m1,m2的连线，即f//(r1﹣r2)。于是我们找到了守恒量：112222mm=+LSS111222mm=×+×=rvrv常矢量6.1.2两个质点的孤立体系和角动量称为单个质点对于原点的角动量或动量矩；定义：m=×=×lrvrpiiiiiiiiim==×=×∑∑∑Llrvrp称为体系对于原点的角动量或动量矩。由上述的推导可知：两个质点孤立体系的角动量守恒。对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结论，我们在下一节介绍。§6.2质点系角动量定理6.2.1质点角动量定理我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点的角动量如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。在惯性参考系中考虑一个受力为F的质点，设其矢径为r，动量为p，角动量为l，有：,dmdt==×=×pFlrvrp角动量对时间的变化率为：()dddtdt=×lrpdddtdt=×+×rppr=×+×vprF=×rF定义：M=r×F称为力F对于原点的力矩。6.2.1质点角动量定理ddt=lM即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。这就是质点角动量定理的微分形式。对上式积分，得：00tdt=−∫Mll力矩对时间的积分称为冲量矩。上式表示质点角动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的积分形式。0tdt∫M不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写成分量形式。6.2.1质点角动量定理例6-1：讨论行星运动性质解：取太阳为原点建立坐标系，设太阳和行星的质量分别为m2，m1，利用约化质量μ=m1m2/(m1+m2)，就可以将该参考系视为惯性系，则行星受到的力矩为M=r×F=0，故l=r×μv=不变量，或掠面速度S=r×v/2=不变量。故有：1.行星轨道是一条平面曲线。（因S的方向不变）2.行星与太阳的连线单位时间扫过的面积为常量。（因S的大小不变）6.2.2质点系角动量定理设体系有n个质点。111213122122323313233123(1)nnnnnnnnnn−⎧=++++⎪=++++⎪⎪=++++⎨⎪⎪=+++++⎪⎩pFfffpfFffpffFfpffffF,iiiiiiim=×=×lrvMrF()iiiiiiiiiddddddtdtdtdtdt=×=×+×=×lrpprpprr6.2.2质点系角动量定理用ri×第i个方程，得：12(1)(1)iiiiiiiiinddt−+=+++++++lMMMMMM由牛顿第三定律知：//()ijij−frr于是可得：()0ijjiiijjjiijij+=×+×=−×=MMrfrfrrf1212()nnddt+++=+++lllMMM12n令：=+++Llll则L为体系的总角动量，M为体系所受的总外力矩。ddt=LM12n=+++MMMM6.2.2质点系角动量定理6.2.2质点系角动量定理ddt=LM即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体系上所有外力对该点力矩之和。这就是体系角动量定理的微分形式。角动量定理的积分形式：00tdt=−∫MLL角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和为零时，体系的角动量守恒。角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。银河系昀初可能是球形的，由于某种原因（如与其它星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚（坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒（r2ω=常量）要求转速随r的减小而增大ω∝r-2，因而使离心力增大（离心力∝v2/r=rω2∝r-3），它往往比引力增大（引力∝r-2）得更快，昀终引力会和离心力相互平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转速。故星系昀终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。§6.3质心系的角动量定理6.3.1质心系的角动量定理由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所以角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑体系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定点。如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如果质心系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍然成立。因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定理也仍然成立。6.3.1质心系的角动量定理设LC为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力对质心的力矩，MC惯为惯性力对质心的力矩。则有：dtdCCCLMM=+惯由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与质量成正比，方向与质心加速度相反，对质心的力矩为：0)()(=×−=−×=∑∑ararMiCiiiCCmm惯CCddt=LM即：不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动量定理仍然适用。6.3.1质心系的角动量定理在这里我们再一次看到质心系的独特优越性。行星绕太阳运动时，把太阳看成静止是一种近似。利用第四章4.4.3节的约化质量虽然精确，但是只能处理两体问题。对于多体问题，当行星的质量与太阳质量相比不能忽略，或者我们求解问题要求高精度时，都应该考虑太阳的运动，在这种情况下用质心系就能显示其优点了。6.3.2体系的角量与质心的角动量虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系在质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相对原点的角动量并不相同。这一点应该是肯定的，因为即使在惯性系中相对不同的点的角动量都不相同，何况质心往往还是一个运动的点。6.3.2体系的角量与质心的角动量设在惯性系K中，体系相对原点的角动量为L。在质心系KC中，体系相对于质心的角动量为LC，则有：()[()()]iiiCCiiCCiiimm=×=+×+∑∑Lrvrrvv()CiCCiCiCiiCCiiCiimmmm=×+×+×+×∑rvrvrvrv()CCCCiCiiCiCCiiCiiiimmmm⎛⎞⎛⎞=×+×+×+×⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑rvrvrvrv()CCCCiiCiimm=×+×∑rvrv6.3.2体系的角动量与质心的角动量CCCCm=×Lrv()CMCiiCiim=×∑Lrv令：称为质心角动量称为体系相对于质心的角动量则有：CCM=+LLL即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心的角动量之和。6.4.1什么是对称性6.4.2因果关系和对称性原理6.4.3守恒率与对称性§6.4对称性、因果关系与守恒律运动是生命的基本存在形式，运动的方式决定了动物的形态。平移运动的动物有择优的方向（前后的区别），关于运动方向左右对称（供运动的流形是2D的）所谓的美，不过就是遵循最简单的自然法则Inversionsymmetry中心对称平移对称性Translationalsymmetry)()(xxfxfδ+=)()(naxfxf+=周期对称性晶体中的原子位置MirrorSymmetryMirrorSymmetry旋转对称性旋转＋滑移Rotation+Glide6.4.1什么是对称性在物理学中讨论对称性问题时，要注意区分两类不同性质的对称性，一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类是物理规律的对称性。由两质点组成的系统具有轴对称性，属于前者；牛顿定律具有伽利略变换不变性，则属于后者。6.4.2因果关系和对称性原理自然规律反映了事物之间的因果关系。所谓“因果关系”，就是在一定条件下会出现一定的现象。在这种情况下我们把前者（条件）称为“原因”，后者（现象）称为“结果”。要构成一条稳定的因果关系，昀重要的需要有两条：可重复性和预见性。其实这就是科学本身存在的必要前提。以上两条性质要求“相同的原因必定产生相同的结果”。但宏观世界的事物没有绝对相同的，我们可以把语气放宽一些，用“等价”一词代替“相同”，把因果关系归结为：等价的原因→等价的结果。这里的箭头表示“必定产生”。这就是因果性的等价原理。6.4.2因果关系和对称性原理对称的原因→对称的结果。原因中的对称性必反映在结果中，即结果中的对称性至少有原因中的对称性那么多。6.4.2因果关系和对称性原理反过来应该说：结果中的不对称性必在原因中有反映，即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那么多。以上原理叫做对称性原理，它是皮埃尔·居里（PierreCurie,1859~1906）于1894年首先提出的6.4.2因果关系和对称性原理在足球场上我们常会看到，球员踢出的球会拐弯（特别是在罚角球时），这种球俗称“香蕉球”。赛场上没有风，球偏斜的方向可以由踢球的人控制。这是什么原因呢？即使我们不懂流体力学，但懂得对称性原理，我们就敢肯定，在球离开球员的脚之前就已存在不对称性了。仔细找找原因，我们会发现，香蕉球踢出时是旋转的，它旋转的方向决定了球向哪边偏斜。旋转——这就是对初始的竖直平面左右不对称的因素，轨迹的偏斜正是这个不对称因素的反映。至于空气和旋转的球之间的相互作用究竟怎样使之偏斜的，那就要靠流体力学的具体知识了。6.4.3守恒率与对称性首先看能量守恒定律。时间均匀性，或者说，时间平移不变性意味着，这种相互作用势只与两粒子的相对位置有关，