中科大力学教案-第四章动量定理

杨维纮杨维纮§4.1动量守恒定律与动量定理§4.2质心运动定理§4.3变质量物体的运动第四章动量4.1.1孤立体系与动量守恒定律4.1.2冲量与质点的动量定理4.1.3质点系动量定理§4.1动量守恒定律与动量定理§4.1动量守恒定律与动量定理4.1.1孤立体系与动量守恒定律前面两章，我们讨论的是单个质点的运动。在这一章里，我们要讨论由许多质点构成的体系的运动规律。这种问题，常称为质点系问题，或多体问题。§4.1动量守恒定律与动量定理4.1.1孤立体系与动量守恒定律孤立体系:体系与外界无相互作用，无粒子交换。相互作用:作功或加热。封闭体系:体系与外界有相互作用，无粒子交换。开放体系:体系与外界有相互作用，有粒子交换。4.1.1孤立体系与动量守恒定律11122221dmdtdmdt==vfvf1221=−ff1122()0dmmdt+=vv定义：1122mm=+Pvv0ddt=P得：或P=不变量此式表明，对于两个质点构成的孤立体系，我们找到了一个不变量P，称它为动量。4.1.1孤立体系与动量守恒定律对于多个质点所构成的孤立体系，可以证明：在不受外力或所受外力的矢量和为零的体系中，每个质点的动量都时刻在变，但它们的矢量和不变。Const==∑iPP其中Pi是第i个质点的动量。4.1.2冲量与质点的动量定理力作用到质点上，可以使质点的速度或动量发生变化，我们将牛顿第二定律写成微分形式，即：dtd=Fp式中dp表示质点动量的改变量，Fdt表示合外力在dt时间内的积累量，称为dt时间内质点所受合外力的冲量（又称为元冲量），记为dJ，即：dJ=Fdt。上式表明在时间内质点所受合外力的冲量等于同一时间内质点动量的增量，这一关系叫做质点动量定理的微分形式。实际上它是牛顿第二定律的另一种形式。4.1.2冲量与质点的动量定理1010ttdt==−∫JFpp式中J表示在到这段时间内合外力的冲量。冲量是矢量。上式称为质点动量定理的积分形式。在相对论中，质量随速率而变，F=ma已不再正确，但Fdt=dp仍然正确。4.1.3质点系动量定理2.多质点系统（n2）111213122122323313233123nnnnnnnn=++++⎧⎪=++++⎪⎪=++++⎨⎪⎪=++++⎪⎩pFfffpfFffpffFfpfffFijji=−ff将方程组中的所有方程相加，由于所有内力的矢量和为零，得：exddt=PF其中：11nniiiiim====∑∑Ppv1nexii==∑FF00textdt=−∫FPP4.1.3质点系动量定理2.多质点系统（n2）作用在体系上所有外力在一段时间内的总冲量等于体系动量的增量。exddt=PF00textdt=−∫FPP微分形式体系的动量定理：积分形式4.2.1质心运动定理4.2.2质心坐标系§4.2质心运动定理4.2.1质心运动定理exddt=PF动量定理的微分形式：牛顿第二定律：()dmdt=vF形式上相同，含义不同。但对质点系而言，确实存在一个特殊点，这一点从图上可以看得很清楚，尽管物体在上抛运动的同时还在旋转，物体（可以看成质点系）上各点的运动比较复杂，但物体上的某一点（中间的小孔处）的运动就简单得象一个质点的上抛一样，沿着抛物线的轨迹运动。于是我们可以定义该特殊点为质心，并认为体系的总质量都集中在质心处。4.2.1质心运动定理定义：12112212CiniiiinnCinimmmmmmmmmmmmm⎧==+++⎪⎪⎨+++⎪==+++⎪⎩∑∑∑rrrrr其中mC,rC分别称为质心的质量和质心的坐标。于是动量定理可以写成：exCCCCdmmdt===PFra00texCCCCtdtmm=−∫Fvv上式分别称为质心运动定理和质心动量定理，其中vC,aC分别称为质心的速度和质心的加速度。4.2.1质心运动定理质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。回想一下，我们为什么可以在第一章引入“质点”的概念，而把一个复杂的物体在不考虑转动和内部运动时看成是一个“质点”？其根据正是质心运动定理。在相对论中，质量与速度有关，且速度和动量不服从经典力学的变换，而质点的质量在不同的参考系中看来是不同的。所以，“质心”这个概念在相对论中已没有多大意义。在相对论中用“动量中心系”来取代质心系。4.2.2质心坐标系把原点取在质心上，坐标轴的方向始终与某固定参考系（惯性系）的坐标轴保持平行的平动坐标系叫质心坐标系（或质心参考系），简称质心系。质心坐标系在讨论质点系的力学问题中，十分有用。对于不受外力作用的体系（孤立体系）或所受外力的矢量和为零的体系，其质心坐标系是惯性系。对于受外力作用的体系，其质心系是非惯性系。§4.3变质量物体的运动4.3.2运动方程t时刻：主体质量m，速度v，外力Fm附体质量△m，速度u，外力F△mt+△t时刻：主体质量m+△m，速度v+△v，外力F=Fm+F△m()()()mmmmt+Δ+Δ−+Δ=ΔvvvuF()mmmtttΔΔΔ=−+−ΔΔΔΔvuvFv令△t→0，则△v→0，上式取极限得：()ddmmdtdt=−+vuvF几点说明：()ddmmdtdt=−+vuvF1.方程中外力F=Fm+F△m，附体对主体的作用力(u－v)dm/dt，当u=v时，上述方程与牛顿第二定律虽然形式上一样，但要注意m仍是变量。2.当u=0时，方程变为：()ddmddmmdtdtdtdt+===vPvvF这与牛顿第二定律一样。3.上式虽然是在dm/dt0情况下导出的，但当dm/dt0时，结论依然正确，火箭就是这种情况的例子。几点说明：()ddmmdtdt=−+vuvF4.若主体与外界两种（或两种以上）质量交换过程时，上述方程应改写为：1212()()dmdmdmdtdtdt=−+−+vuvuvF其中u1、u2分别表示附体1和2在并入主体前的速度，dm1/dt和dm2/dt则表示相应两种交换过程的质量改变速率，而主体的质量改变为：dtdmdtdmdtdm21+=例：将一质量m，长为l的匀质柔软绳的两端合在一起悬挂支点O，今使其中的一端脱离O而自由下落，求下落端下落距离为x时，支点所受的力F。