中科大电磁学视频课件-第八章--磁能

第八章磁能§8.1戴流线圈系统的磁能§8.2戴流线圈在外磁场中的磁能§8.3磁场的能量和磁能密度*§8.4非线性介质及磁滯损耗*§8.5利用磁能求磁力本章阐述的方式与第三章几乎相同，读者可以通过对比去学习和掌握本章的内容。§8.1戴流线圈系统的磁能一、一个载流线圈的磁能在第七章7.4节中，研究了如右图所示的电路。当接通开关后，自感为L的线圈中的电流从零开始，增大到I，而达到稳定。这是一个暂态过程，描述它的方程为：RLIRIRdtdILi＋或,i是线圈L的感应电动势。于是立即可得：RdtILIdIIdt2或2iIdtIdtIRdt(8.1.1)(8.1.2)■式（8.1.1）说明，电源在时间内作功并消耗能量，其中除一部分转变为电阻R的焦耳热之外，另一部分用来反抗线圈的感应电动势作功，其值为或。■我们知道，在开关接通以前线圈中的电流为零，其磁场为零，作为零能态；开关接通后，电流逐渐增大，线圈内磁场逐渐增强，这正是电源消耗一部分能量反抗线圈的感应电动势作功的结果，该能量转变为线圈的磁能（即磁场能）：dtIdt2IRdtLIdImWiIdt201,2ImWLIdILI(8.1.3)可写成：mmIW21(8.1.4)式中为穿过线圈的全磁通，式（8.1.3）或式（8.1.4）为线圈的自感磁能表达式。LIm二、N个载流线圈系统的磁能为了简化讨论，我们假定所给的线圈的电阻很小可以忽略，即焦耳热损耗的能量可以忽略。各线圈电流由零逐渐增加到给定值，将各线圈取为零能态。iI0iI■在某一瞬间，在第i个线圈中，感应电动势由下式确定：i1NikiikikkidIdILMdtdt(8.1.5)是第i个线圈的自感，是第k个线圈和第i个线圈之间的互感。■因此，在第i个线圈中，电源反抗感应电动势在dt时间内所作的功是：iLkiMiNikkkikiiiiiiidIIMdIILdtIAd1(8.1.6)■在N个线圈中，总的电源作功是：NiNikkikikiiiiNiidIIMdIILAdAd11,1(8.1.7)■由以及上式右边第二项互换求和指标i和k结果不变，得：)(21211,1,1,1,kNkikiiikNkikiikikNikkikikiNikkikikiIIdMdIIMdIIMdIIMikkiMM■于是，可将式（8.1.7）写成：NiiiiNkikikiikdIILIIdMAd11,)(21■将上式自始态（全部）至末态积分便得：0iINiiiNkikikiikILIIMA121,2121■该功转换为系统的磁能:mWNiiiNkikikiikmILIIMAW121,2121(8.1.8)于是，方程右边的第一项表示N个线圈系统的互感磁能，第二项表示自感磁能。■进一步记，则式（8.1.8）可表为：iiiMLNkikiikmIIMW1,21(8.1.9)■设，它表示第k个线圈的电流的磁场通过第i个线圈的磁通，且令：kikikikkMIMIMI=1=1NNikiikkkk(8.1.10)■于是式（8.1.9）又可写成：NiiimIW121(8.1.11)式（8.1.9）与式（8.1.11）只不过是式（8.1.8）的另一种表述方式，便于记忆。§8.2戴流线圈在外磁场中的磁能对两个载流线圈的系统，应用式（8.1.9）求得磁能的表达式如下：221122121211.22mWLILIMII(8.2.1)上式右边第一、第二项分别是两个载流线圈的自感磁能，第三项是两个载流线圈的互感磁能。■当我们只对两个载流线圈的相互作用感兴趣时，即只研究它们的互感磁能，也就是互能，把它记为，其表达式为：12W121212122,WMIII(8.2.2)式（8.2.2）可进一步写成：212212(),SWIdBrS(8.2.3)我们可将该系统的互能看成为载流线圈2在外磁场中所具有的磁能。■对均匀外磁场中的载流线圈或非均匀外磁场中的小载流线圈，式（8.2.3）右边的可从积分号中提出，简记为B，以至：1B12()Br122().WIBSmB(8.2.4)这是磁矩m在外磁场B中的磁能表达式（8.2.4），与第三章3.3节例3.4中对应的电偶极子p在外电场中的能量表达式相比差一负号,在§8.5中解释。eWpE■如果有一外场B(r)，N个载流线圈处于该场中，这系统在外场中的磁能容易求得，只需推广式（8.2.3）便可得:NkSkmkdIW1)(SrB(8.2.5)■当外场均匀，式（8.2.5）可写成:1mtNkkkWIBBSm(8.2.6)式中是整个系统的磁矩。tm§8.3磁场的能量和磁能密度从螺绕环入手导出磁场的能量和磁能密度。设螺绕环的的磁导率为，长为l，截面积为S，线圈匝数为N，电流强度为I，则环内磁场为，螺绕环的自感系数为:nIB2NSBNSnILnVIIll(8.3.1)其中，为是螺绕环的体积。SlVmWVBHInVLIWm212121222(8.3.2)磁能贮存在哪里？类同第三章的解释,磁能贮存在磁场中。■由此，螺绕环的磁能为:■定义:VWwmm它表示螺绕环内单位体积的磁能，称为磁能密度。由式（8.3.2）将代之以一般形式，可得:HB21mwBHHB(8.3.3)式（8.3.3）表明，磁能以磁能密度贮存于磁场之中。当空间磁场不均匀时，总磁能应当是磁能密度的体积分，即:2/HBmw式中积分遍及磁场所在的全部空间V。■需说明的是，按式（8.3.3）和式（8.3.4）定义的磁能密度和磁能，计入了介质的磁化能（见8.4节），它要求介质是线性无损耗的。■将式（8.3.3）与电能密度比较，所定义的与对应，它反映了磁能储存于磁场之中的观点，即磁场具有能量，其能量密度为。2/weEDmwew2H/BmwVVmmdVdVwWHB21(8.3.4)[例8.1]一同轴电缆，中心是半径为a的圆柱形的导线，外部是内半径为b、外半径为c的导体圆筒，在内、外导体之间充满磁导率为的介质，电流在内、外导体中的方向如右下图所示。设电流沿截面均匀分布，求这电缆单位长度的自感系数。[解]原来我们从计算磁场和磁通量出发求自感，这种方法在此处不便使用。■下面换一种方法，即从式（8.3.2）出发，先求，再根据计算自感L。为计算，考虑长度为l的一段电缆，mW2/2LIWmmW将其按图划分为为四个区域，分别计算各区的磁场、磁能密度和磁能。1区：，（对一般导体成立）。由环路定理可得：0ra04222012010122218,2,221arIwaIrHBaIrraIrHm1620012001lIdzrdrdwWlmamarb2区：，磁导率为，可求得：2222228,2,2rIwrIBrIHmablIdzrdrdwWlmbamln4202202brc03区：，。穿过半径为r环路的总电流为22222222()(),()IrbIcrIIcbcb故有:2330322,,2()IcHrBHrcb222422222032)(8rcrcbcIwm.)3)((41ln)(4222242222003203bcbcbccbclIdzrdrdwWlmcbmrc0,III0,0,0444mwBH04mW4区：，穿过半径为r的环路的总电流为于是有和■由上述结果计算长度为l的电缆的总磁能：4321mmmmm2/2IWLmlLL/00L然后由和求得电缆单位长度的自感.)3)((41ln)(ln4212222242220020bcbcbccbcablIWlLLm*§8.4非线性介质及磁滯损耗前面我们限于线性无损耗介质，本节讨论非线性介质的磁能及磁滞损耗问题。■为简单起见，我们仍限于螺绕环情况。设螺绕环的截面积为S，环长为l，线圈匝数为N。当电流为I时，内部填满磁介质的磁化强度为M。设磁感应强度随时间变化，在dt时间内螺绕环内的B增至B+dB，则穿过线圈的总磁通变化为：.dNdNSdB(8.4.1)■电源克服感应电动势所作的元功为：NSIdBIddtdtdIIdtAd(8.4.2)■由安培环路定理，我们可推得：,.LHldHlNIIN或Hl(8.4.3)将式（8.4.3）代入式（8.4.2）可得：.dAVHdB(8.4.4)■于是对单位体积螺绕环介质，电源所作的元功为：.dAdaHdBdVHB(8.4.5)进一步由，可将上式改写为：MHdHdad0202(8.4.6)0()BH+M■在磁荷观点下，一般将式（8.4.6）右边第一项称为宏观磁能密度的变化。式（8.4.6）的物理意义是：电源所作的功一部分用来增加宏观磁能，另一部分为对介质作的磁化功。■要分析磁化功的具体形式及其后果，必须考虑介质的磁化规律，即M和H的函数关系。1.先讨论线性无损耗介质，可将磁化规律写成：jiijjjijiHM,31如果又是各向同性介质，则，且有。。m33221102313120dHM仿照第三章3.5节式（3.5.6）的推导步骤，可证，于是得磁化功为：ddHMMH00.2ddHMMH(8.4.7)式中称磁化能密度。上式表明，磁化功全部转换为介质的磁化能。将式（8.4.7）代入式（8.4.6）得：2/0HMmdwdHdadHBHM2122020(8.4.8)2/20H2/0HM即电源作功全部转化为螺绕环的磁能。注意，这里的磁能密度等于宏观磁能密度和磁化能密度之和。2.再讨论非线性磁介质,不再有上述简单结论。下面以铁磁体为例进行讨论。当从某点A出发沿着磁滞回线循环一周回到A时，电源对单位体积铁磁体所作的功可由式（8.4.6）求得：HdMada0(8.4.9)■式中右边沿磁滞回线的闭路积分正好等于磁滞回线所围的“面积”。这部分功不改变磁场强度和介质的磁化状态，它所传递的能量将转化为热量。这部分因磁滞现象而消耗的能量称为磁滞损耗。■在交流电路中，电感元件铁芯的磁滞损耗是有害的，应当尽量使之减少，并采取措施防止铁芯过热。*§8.5利用磁能求磁力在已知外磁场和电流的分布之后，我们可通过安培公式来计算磁力，这方面的内容我们已在第六章6.1节作过讨论。在有些情况下，系统的磁能易于求得，通过它求磁力更方便，本节将介绍这一方法。1.先来分析由N个载流线圈构成的电流系统，考虑其中一个载流线圈所受的磁力F。设想该载流线圈有一虚位移，在该虚位移下各线圈的电流维持不变。此时，磁力作功为：rzFyFxFAzyxrF(8.5.1)■与此同时，维持各线圈电流不变需要外部电源反抗感应电动势作功，设这部分功为。A■电源作功使系统磁能增加，而磁力作功则使系统磁能减少，故系统磁能的变化应为：()mIW().mIWAA(8.5.2)■为弄清和的具体关系，需要求出和的关系。为此，设因受力载流线圈作虚位移导致第i个线圈的磁通量变化，则该线圈中的电源反抗感应电动势作功应为：AmWAmWriiiiiiiidIdtdtdIdtIA于是电源作的总功为：11.NNiiiiiAAId