《函数的单调性与导数》

判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数的单调性。yx2(,0)(0,)33?yxxxyo2yx函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：目标引领•1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；•2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：•利用导数判断函数单调性.oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间观察下列图象的单调区间,并求单调区间相应的导数.分析函数在每个单调区间上的单调性与导数的关系自学探究：图象是单调____的.01yy0)(xf分析函数在每个单调区间上的单调性与导数的关系上升______10是单调增函数则)(xf02xy02xy图象是单调下降的.在x∈(-∞,0)内图象是单调上升的.在x∈(0,+∞)内分析函数在每个单调区间上的单调性与导数的关系单增则）（单减，则）（)(0)(0xfxfxfxf图象是单调上升的.)0(032时当xxy分析函数在每个单调区间上的单调性与导数的关系为单调增函数则）（)(0xfxf012xy012xy图象是单调下降的.在x∈(-∞,0)内图象是单调下降的.在x∈(0,+∞)内分析函数在每个单调区间上的单调性与导数的关系单增则）（单减，则）（)(0)(0xfxfxfxfox1y1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？合作解疑2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为(锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。函数的图像如图)(yxf函数的单调性与其导函数正负的关系:当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果,则f(x)为增函数；如果,则f(x)为减函数。0)(xf0)(xf例1、已知导函数的下列信息：当1x4时，当x4,或x1时，当x=4,或x=1时，试画出函数f(x)图象的大致形状。)(xf0)(xf0)(xf0)(xf)(yxf0)('xf0)('xf0)('xf41xyo)(xfy解：由题意可知当1x4时，f(x)为增函数当x4,或x1时，f(x)为减函数当x=4,或x=1时，两点为“临界点”其图象的大致形状如图。例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)0)(xf从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。xyoxxxf3)(3），单调增区间为（-xyo132)(2xxxf(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1))(xf图象见右图。当0，即x1时，函数单调递增；)(xf当0，即x1时，函数单调递减；)(xf），）单增区间为（，单减区间为（11-xyoxxxfsin)((3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-10)(xf从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,p)单调递减，见右图。(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)0)(xf当0，即时，函数单调递增；)(xf21712171xx或xyo图象见右图。当0，即时，函数单调递减；21712171x)(xf•1．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()•A．是增函数•B．是减函数•C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增•D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增•[答案]A•[解析]f′(x)＝2－cosx0在(－∞，＋∞)上恒成立．练习C．在(0，1e)上是减函数，在(1e，1)上是增函数D．在(0，1e)上是增函数，在(1e，1)上是减函数•2．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是()•A．单调增函数•B．单调减函数•[答案]C[解析]f′(x)＝lnx＋1，当0x1e时，f′(0)0，当1ex1时，f′(x)0.求函数的单调区间的一般步骤:步骤：（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f’(x)0以及f’(x)0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。例3、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。练习4如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90o)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是（）。xyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfx求函数的单调区间的一般步骤小结:函数的单调性与其导函数正负的关系作业布置：演草：课本P98A1。2.《导学》P71页A组