信号与系统奥本海姆课件第9章

1第9章拉普拉斯变换SignalsandSystemsA.V.OPPENHEIM,etal.TheLaplaceTransform21.拉普拉斯变换；2.拉普拉斯变换的收敛域；3.零极点图；4.拉普拉斯变换的性质；5.系统函数；6.单边拉普拉斯变换；本章基本内容：39.0引言Introduction傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切LTI系统的特征函数。傅里叶变换是以复指数函数中的特例，即以和为基底分解信号的。对于更一般的复指数函数和，也理应能以此为基底对信号进行分解。jtejnestenz4通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Ｚ变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的许多方面。拉氏变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。59.1TheLaplaceTransform拉普拉斯变换复指数信号是一切LTI系统的特征函数。如果LTI系统的单位冲激响应为，则系统对产生的响应是:ste()htste()()stytHse()()stHshtedt，其中显然当时，就是傅里叶变换。sj6一.拉氏变换的定义：()()stXsxtedt称为的拉氏变换(LaplaceTransform),其中()xtsj若，则有:0sj()()jtXjxtedt这就是的傅里叶变换。()xt表明：连续时间傅里叶变换是拉普拉斯变换在或是在轴上的特例。0jDefinitionofTheLaplaceTransform7()()[()]tjttjtXsxteedtxteedt[()]txteF[由于所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，的拉氏变换就是的傅里叶变换。只要有合适的存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。()xtte()txte8Re[]sa在时收敛当时，的傅里叶变换存在()xt0a01()atjtXjeedtaj(0)a显然，在时，拉氏变换收敛的区域，包括了（即轴）。0aRe[]sa0jExample9.1atxteutXssasa1ReRea0jpole-zeroplot零极点图9比较和，显然有()Xj()Xs()()sjXsXj当时，()()()atxteutut0a1()uts可知Re[]0s10Chapter9TheLaplaceTransformExample9.2atxteutXssasa1ReReajpole-zeroplot11Chapter9TheLaplaceTransformasastueatRe1asastueatRe1ROC;sXtxParticularly,0Re1sstu0jTheFouriertransformofdoesnotexist.tujtuF112由以上例子，可以看出:1.拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。2.使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的收敛域ROC，拉氏变换的ROC（RegionofConvergence）是非常重要的概念。133.不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。4.只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。5.如果拉氏变换的ROC包含轴，则有j()()sjXjXs14二.拉氏变换的ROC及零极点图：TheRegionofConvergence&pole-zeroplot2()()()ttxteuteut例9.3.200()tsttstXseedteedt1(),1teutsRe[]1s21(),2teutsRe[]2s1j2j15Chapter9TheLaplaceTransform232tuetuett211sss1Resj121Example9.33cos2tutetuetxtt1022125222ssssssX1Resjj312j3116Chapter9TheLaplaceTransformExample9.431342tuetuettxtt2112ssssX2Res2Re0sdoesnotexist.txFj121pole-zeroplot17可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。ROC总是以平行于轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与的分母的根对应的。j()Xs若是有理函数()Xs()()()()()iiiisNsXsMDss18分子多项式的根称为零点（zeroroot），分母多项式的根称为极点（poleroot）。将的全部零点和极点表示在S平面上就构成了零极点图（pole-zeroplot）。零极点图及其收敛域可以表示一个，最多与真实的相差一个常数因子。因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。()Xs()Xs()XsM199.2拉氏变换的收敛域•可以归纳出ROC的以下性质：1.ROC是S平面上平行于轴的带状区域。jTheRegionofConvergenceforLaplaceTransformsProperty1:TheROCofX(s)consistsofstripsparalleltothejω-axisinthes-planedtetxt——Dependsonlyonσ202.在ROC内无任何极点。3.如果x(t)有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC是整个S平面。Property2:ForrationalLaplacetransforms,theROCdoesnotcontainanypoles.Property3:Ifisoffinitedurationandisabsolutelyintegrable,thentheROCistheentires-plane.tx212Tt1Ttx210T,tT;ttxdttxTT21ExampleTtututx?Xs224.如果是右边信号，并且那么的全部S值都一定在收敛域内txProperty4:Ifisrightsided,txROC01,0TttxROCRe0stxROCRe0s0Res230()tTxtedt若，则101()tTxtedt010100()()()()ttTTtTxteedtextedt1表明也在收敛域内。若是右边信号,,在ROC内，则有绝对可积，即：00()txte()xtTt245.左边信号的ROC是S平面内的一条平行于轴的直线的左边。j若是左边信号，定义于,在ROC内，，则100()xt(,T0101()()()TTtttxtedtxteedt100()()TTtextedt1表明也在收敛域内。Property5:Ifisleftsided,txROC01,0TttxROCRe0s25Property6:Ifistwosided,txROC0t-tx,021Res0Tttx0TttxL0TttxR1Res2ResROC:6.双边信号的ROC如果存在，一定是S平面内平行于轴的带形区域。j26例1.0()()0()1[1]TatstTsatsaTXseedtedtesa()xtate0其它27有极点sa考查零点，令()1saTe2sajkT得sa显然在也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个S平面上无极点。sa28Chapter9TheLaplaceTransformExample9.7btxtetuetuetxtbtbbsbstuebtRe1bsbstuebtRe1Ifb0,222bsbetbIfb≤0,bjbbsbRe上述ROC无公共部分，表明不存在。()Xs29Chapter9TheLaplaceTransformtxsXmaxRestxtxminResProperty7:IftheLaplacetransformofisrational,①isrightsided,②isleftsided,当是有理函数时，其ROC总是由的极点分割的。ROC必然满足下列规律：1.右边信号的ROC一定位于最右边极点的右边。2.左边信号的ROC一定位于最左边极点的左边。3.双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间的带状区域。()Xs()Xs()Xs()Xs30Example9.8j12j212Res1Re2sj121Resleftsidedtwosidedrightsided可以形成三种ROC：1)ROC：此时是右边信号。2)ROC：此时是左边信号。3)ROC：此时是双边信号。Re[]2sRe[]1s2Re[]1s()xt()xt()xt21()321112Xsssss31Chapter9TheLaplaceTransformstXsxtedttXsFxtedt0ROCsjXjXs1.Thedirectionofsignals2.ThepositionofpolesROCofX(s)32Chapter9TheLaplaceTransformBasicLaplacePairstxsXPolesROCt1nonesRes1tu0Restu0Ress1tueatasRetueatasReas1as10s0sasas33Chapter9TheLaplaceTransform§9.3TheInverseLaplaceTransformROCdsesXjtxstjj21defininga0jjj34TheInverseLaplaceTransform一.定义：由()()stXsxtedt若在ROC内，则有:sj()()[()]tjttXjxteedtxteF[1()()2tjtxteXjed11()()()22tjtstxtXjeedXsed9.3拉普拉斯反变换35当从时,从sjj由sjdsjd得拉氏反变换表明:可以被分解成复