5弯曲应力 材料力学第五版(刘鸿文主编)

1第五章弯曲应力目录2mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.§5-1引言mmFSmmM只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩.弯矩M正应力剪力FS切应力内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力；所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.3二、分析方法平面弯曲时横截面纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.三、纯弯曲++FF+FaFFaaCDAB§5-1引言§5-2纯弯曲时的正应力一、实验1.变形现象纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线52.提出假设（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴横截面对称轴中性层中性轴横截面对称轴⊥§5-2纯弯曲时的正应力6dx图（b）yzxO应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（a）dx二、变形几何关系图（c）dzyxO’O’b’b’ybbOOxbbdOO''OOdyyddd)(d)(ybb§5-2纯弯曲时的正应力7三、物理关系所以胡克定律MyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.应力分布规律：待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径EεσyEσ§5-2纯弯曲时的正应力8yzxOMdAyσdA四、静力关系横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得dAdAzyAAAσFddNNFiyMizMAAyAzσMddAAzAyσMdd0（1）0（2）M（3）NdFyMdzMdAσd§5-2纯弯曲时的正应力9将应力表达式代入(1)(2)(3)式，得zIEM1§5-2纯弯曲时的正应力dAyIAz2——截面对中性轴的惯性矩10zEIM1yEσ将代入得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:zIMyσM为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；§5-2纯弯曲时的正应力11（1）应用公式时，一般将My以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号).凹入边的应力为压应力（为负号）；（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.IyMσzmaxmax则公式改写为WMσmax引用记号—抗弯截面系数maxyIWz§5-2纯弯曲时的正应力说明:12（1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy32π2/64/π2/34ddddIWz62/12/2/23bhhbhhIWzDdαDW)1(32π43§5-2纯弯曲时的正应力13zy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面ymaxcymaxtM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式ymaxtymaxczIMyσmaxcσtmaxσIMyσzmaxcmaxcIMyσzmaxtmaxt§5-2纯弯曲时的正应力14当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.§5-3横力弯曲时的正应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.一、横力弯曲虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为WxMσ)(15二、公式的应用范围1.在弹性范围内2.具有切应力的梁3.平面弯曲4.直梁三、强度条件1.数学表达式][maxmaxσWMσ梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.§5-3横力弯曲时的正应力162.强度条件的应用][maxσMW（2）设计截面][maxσWM（3）确定许可载荷（1）强度校核][maxσWM对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的][][ctσσ且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的σσmaxcmaxt（两者有时并不发生在同一横截面上）要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力][tmaxtσσ][cmaxcσσ§5-3横力弯曲时的正应力17例题1螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.ACBFa2a2030φ14FRAFRB+Fa解：（1）作出弯矩图的最大弯矩为Fa；§5-3横力弯曲时的正应力18（2）求惯性矩，抗弯截面系数433cm07.112)cm2)(cm4.1(12)cm2)(cm3(zI34maxcm07.11cmcm07.1yIWzz（3）求许可载荷][maxσWMzkN3][][aσWFσWFazz§5-3横力弯曲时的正应力1980y1y22020120z例题2T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为[t]=30MPa，许用压应力为[c]=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m§5-3横力弯曲时的正应力20FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN·m2.5kN·m解：kN52R.FAkN510R.FB最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上mkN5.2MCmkN4MBB截面][MPa2.27t1maxtσIyMσzB][MPa2.46c2maxcσIyMσzBC截面][MPa8.28t2maxtσIyMσzC80y1y22020120z§5-3横力弯曲时的正应力满足强度要求。21例3受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM30§5-3横力弯曲时的正应力22q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120zykNm5.678/3608/22maxqLM451233m10832.5101218012012bhIz34m1048.6/2hIWzzMPa7.6110832.560605121zIyM求应力18030§5-3横力弯曲时的正应力23MPa6.921048.66041max1zWMm4.1941060832.520011MEIzMPa2.1041048.65.674maxmaxzWM求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax1212018030§5-3横力弯曲时的正应力24一、梁横截面上的切应力1.矩形截面梁§5-4梁的切应力及强度条件（1）两个假设（a）切应力与剪力平行；（b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）.q(x)F1F225（2）分析方法（a）用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段.两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一y处的正应力也不等；（b）假想地从梁段上截出体积元素mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向内力不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxm’m’hnyABA1B1ABB1A1mnxzyyḿFN2FN1§5-4梁的切应力及强度条件26mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnττ’（c）在纵截面上必有沿x方向的切向内力dFS′.故在此面上就有切应力τ.根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS’ḿ§5-4梁的切应力及强度条件27ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’（3）公式推导假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，两截面上距中性轴距离y1处的正应力为1和2.A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.1d11NAAσFAyIMAIMyAzAzdd1111zzSIMzzASIMMAσFdd122N式中：为面积A1对中性轴的静矩.1d1AzAySAd1§5-4梁的切应力及强度条件28化简后得zzSIMF1NzzSIMMFd2NxbFdds由平衡方程0xF0d'S1N2NFFFbISxMzzddSddFxMbISFzzSABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’Ad1§5-4梁的切应力及强度条件29b矩型截面的宽度.bISFzzSyA*z整个横截面对中性轴的惯性矩.zI距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩.Sz（4）切应力沿截面高度的变化规律沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定.Sz§5-4梁的切应力及强度条件30yd1y1nBmAxyzOyA1B1m11d1AzAyS)4(2dy2212/1yhbbyhy)4(222SSyhIFbISFzzz可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.zτmaxy=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值bhFbhhFIhFzS32S2Smax231288AF23Smax式中，A=bh为矩形截面的面积.§5-4梁的切应力及强度条件312.工字形截面梁假设求应力的点到中性轴的距离为y.研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为HoyxbzhbISFzzS*§5-4梁的切应力及强度条件32b—腹板的厚度OzyyA*bISFzzS—距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩.Sz*8)(822SmaxhbBBHbIFzminozymaxτmax（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；§5-4梁的切应力及强度条件33minmaxbISFzzS*maxmax式中:—中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩.Sz*maxOzymax（b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.minmaxbhFS§5-4梁的切应力及强度条件34二、强度条件][max][Smax*maxmaxbISFzz三、需要校核切应力的几种特殊情况（1）梁的跨度较短，M较小，而FS较大时,要校核切应力；（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力；（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力.§5-4梁的切应力及强度条件35F例题4一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F=30kN.跨长l=5m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力[]=170MPa,许用弯曲切应力[]=100MPa，试校核梁的强度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁，力F在梁中间位置时有最大正应力.mkN5.37max