高考数学线性规划常见题型及解法

1高考数学线性规划常见题型及解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。现就常见题型及解决方法总结如下：一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,xy满足条件1110xyxyx，则2zxy的最小值为A.3B.1C.-5D.-6解析:利用线性规划知识求解。可行域如图阴影所示，先画出直线01:2lyx，平移直线0l,当直线过点A时，2zxy的值最小，得110,xxy12,xymin(1,2),12(2)5Az探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想及运算求解能力，难度适中。二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,xy满足约束条件2224,41xyxyxy则目标函数3zxy的取值范围是3,62A.3,12B.1,6C.36,2D.解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30xy，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C时，目标函数取得最大值，当直线过点A是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240xyAxy得;由4101,(,3)2402xyxy得Bmaxmin133206,3322zz，33-62zxy的取值范围是，OyxCABOyxABC2探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2xy上存在点(,)xy满足条件-30-2-30,xyxyxm则实数m的最大值为（）-A.1B.132C.D.2解析：在同一直角坐标系中函数2xy的图像及30230xyxy，所表示的平面区域图阴影部分所示。由图可知，当1m时，函数2xy的图像上存在点,xy()满足约束条件，故m的最大值为1.探究提高：本题是线性规划的综合应用，解决这类问题的关键是利用树形结合的思想方法，给目标函数赋予一定的几何意义。四、求线性规划问题的整点问题；例题：设等轴双曲线221xy的两条渐近线与直线2x围城的三角形区域(包含边界)为M，,pxy()为M内的一个动点，则目标函数2zxy的最小值___________.解析：等轴双曲线的渐近线为0xy和0xy.它们和2x共同围城的三角形区域为002xyxyx，即图中阴影部分，由图像可知当直线经过点C时，Z最大，点C的坐标为(2,2)，此时2222z。探究提高：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。五、求可行域的面积；y=-xy=xx=2CYX3例题、不等式组260302xyxyy表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B探究提高：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。六、(2012年咸阳模拟)求非线性目标函数的最值；例题：实数x，y满足1002xyxy，（1）若yzx，求z的取值围；（2）若22zx+y，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.解析：由1002xyxy，作出可行域如图中阴影部分所示(1)z＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)．而由102xyy，得得B(1,2)，则kOB＝21＝2.∴zmax不存在，zmin＝2，∴z的取值范围是[2，＋∞)(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方．因此x2＋y2的范围最小为|OA|2(取不到)，最大为|OB|2.100xyx，得A(0,1)，∴|OA|2＝(02＋12)2＝1，|OB|2＝(12＋22)2＝5.∴z的最大值为5，没有最小值．故z的取值范围是(1,5]．探究提高：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。七、求线性规划的简单应用；My=2x+y-3=02x+y-6=0CBAXY4例题：（2012.江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元总利润为使一年的种植(总利润=总销售收入-总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为（）A.50，0B.30，20C.20，30D.0，50解析：设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知，求目标函数0.9zxy的最大值501.20.954,xyxyxyN，根据题意画可行域如图阴影所示。当目标函数l向右平移，移至点(30,20)A处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜20亩时，种植总利润最大。探究提高：解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)解答