高考数学解题技巧-柯西不等式的证明及其应用

1柯西不等式的证明及其应用柯西不等式的证明及其应用柯西不等式的证明及其应用柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。关键词：柯西不等式，证明，应用SummarSummarSummarSummary：Cauchy'sinequalityisaveryimportantinequality,thisarticleusesixdifferentmethodstoprovetheCauchyinequality,andgivessomeCauchyinequalityininequality,solvingthemostvalue,solvingequations,trigonometryandgeometryproblemsintheareasofapplication,thelastuseditprovedthatpointtothestraightlinedistanceformula,betterexplainstheCauchyinequality.KeywordsKeywordsKeywordsKeywords：：：：Cauchyinequality,proofapplication不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。2一、相关定理柯西不等式是指下面的定理定理设,(1,2,...,),iiabRin∈=则222111()()()nnniiiiiiiabab===≤∑∑∑当数组a1，a2，…，an,b1，b2，…，bn不全为0时，等号成立当且仅当(1)iibainλ=≤≤.柯西不等式有两个很好的变式：变式1设,0(1,2,...,),iaRbiin∈=221()niiiiiaabb=≥∑∑∑,等号成立当且仅当(1)iibainλ=≤≤变式2设ai,bi同号且不为0（i=1，2，…，n）则21()niiiiiiaabab=≥∑∑∑,二、柯西不等式的证明：常用的证明柯西不等式的方法有：1）配方法：作差：因为222111()()()nnnijiiijiabab===−∑∑∑221111()()()()nnnnijiijjijijababab=====−∑∑∑∑3221111nnnnijiijjijijababab=====−∑∑∑∑22221111111(2)2nnnnnnijjiijjiijijijabababab=======+−∑∑∑∑∑∑2222111(2)2nnijijjijiijabababab===−+∑∑2111()02nnijjiijabab===−≥∑∑所以222111()()()nnnijiiijiabab===−∑∑∑0≥，即222111()()()nnnijiiijiabab===≥∑∑∑即………………222222211221212()()()nnnnabababaaabbb+++≤++++++当且仅当……0(,1,2,,)ijjiababijn−==即…………(1,2,,;1,2,,;0)jijijaainjnbbb===≠时等号成立。2）利用判别式证明（构造二次函数法）若210niia==∑，则12....0.naaa====此时不等式显然成立。若210niia=≠∑，构造二次函数()2221112nnniiiiiiifxaxabxb===⎛⎞⎛⎞=•−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑()210niiiaxb==−≥∑对于x∈R恒成立，所以此二次函数()fx的判别式△≤0，即得证。3）用数学归纳法证明4i）当1n=时，有2221112()abab=，不等式成立。当n=2时，22222112212221122()2abababababab+=++222222222222121211221221()()aabbabababab++=+++。因为2222122111222abababab+≥，故有2222211221212()()()ababaabb+≤++当且仅当1221abab=，即1212aabb=时等号成立。ii）假设nk=时不等式成立。即………………222222211221212()()()kkkkabababaaabbb+++≤++++++当且仅当……1212nnaaabbb===时等号成立。那么当1nk=+时，2112211()kkkkabababab++++++……222112211112211()2()kkkkkkkkabababababababab++++=++++++++…………22222222121211112211()()2()kkkkkkkkaaabbbababababab++++≤+++++++++++………………2222222222222222121211111111()()kkkkkkkkkkaaabbbabbaabbaab++++++≤++++++++++++………………222222121121()()kkaaabbb++=++++++…………2222221212()()nnaaabbb=++++++…………当且仅当……1111212111,,,kkkkkkkkabbaabbaabba++++++===时等号成立，5即……112121kkkkaaaabbbb++====时等号成立。于是1nk=+时不等式成立。由i）ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。4）用向量法证明设n维空间中有二个向a�……12(,,,)naaa=，b�……12(,,,)nbbb=，其中…………1212,,,;,,,nnaaabbb为任意两组实数。由向量的长度定义，有a�……22212naaa=+++|,b�……22212nbbb=+++又由内积的定义，ab⋅��=a�b�cosθ,其中θ是a�,b�的夹角，且有ab⋅��……1222nnababab=+++。因|cosθ|1≤，故ab⋅��≤a�b�，于是|……1122nnababab+++|≤…………2222221212nnaaabbb++++++即222222211221212()()()nnnnabababaaabbb+++≤++++++………………当且仅当|cosθ|1=时，即a�与b�共线时等号成立。由a�,b�共线可知……1122,,,nnabababλλλ===()Rλ∈即……1212nnaaabbb===……(0,1,2,,)ibin≠=6由以上，命题得证。5)利用均值不等式当()()…………2222221212nnaaabbb++++++=0时不等式显然成立当()()…………2222221212nnaaabbb++++++≠0柯西不等式可化为1≥()()()211222222221112.........nnnnabababaaabbb+++++++++。由均值不等式可知()()()211222222221112.........nnnnabababaaabbb+++++++++≤……………………22221122222222222212121212...2nnnnnnababaaabbbaaabbb⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++++++++++++⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠=……………………22221122222222222212121212...2nnnnnnababaaabbbaaabbb++++++++++++++++=1即1≥()()()211222222221112.........nnnnabababaaabbb+++++++++当且仅当……1212nnaaabbb===……(0,1,2,,)ibin≠=时等号成立。从而柯西不等式得证。而变式一二可由柯西不等式稍加变形容易得到。三、柯西不等式的应用：71）证明不等式在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。例3.1.1已知abcd，求证：1119abbccaad++≥−−−−。证因为a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)0,由柯西不等式知()111()adabbcca−++−−−=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]111()abbcca++−−−≥()2111++=9从而1119abbccaad++≥−−−−。例3.1.2：已知2221222212...1...1nnaaaxxx+++=+++=，求证：1122...1nnaxaxab+++≤证法一：（常用证法）221111222222222,...2,2,nnnnaxaxaxaxaxax+≥+≥+≥把上面n个不等式相加，得()()22222212121122......22...2,nnnnaaaxxxaxaxax+++++++≥+++即()1122112222......1nnnnaxaxaxaxaxax≥+++∴+++≤8证法二：（利用柯西不等式来证明）分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：1212,,...;,...nnaaaxxx由柯西不等式（A）有()()()2222222112212121122............1nnnnnnaxaxaxaaaxxxaxaxax+++≤++++++∴+++≤两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷例3.1.3：设ixR+∈（i=1，2，…n）且111niiixx==+∑，求证：112niijiijnxxx=≤≤≥∑∑[5]证注意到恒等式12ijijnxx≤≤∑=()22iixx−∑∑，只需要证明1niix=∑≥()22iixx−∑∑即()221niiiixxx=≤+∑∑∑上式左边=()211iiiixxxx⎛⎞+•⎜⎟⎜⎟+⎝⎠∑≤()()11iiiixxxx⎛⎞+•⎜⎟+⎝⎠∑∑=21niiixx=+∑∑，得证。例3.1.4：设实数,,abc,λ满足a≥λ0,b≥λ,c≥λ求证2222abcbccaabλλλλλλ++≥−+−+−+证因为a≥λ0,由均值不等式得2aλλ−=()aλλ−≤2aλλ+−=2a9同理可得2bλλ−2b≤，22ccλλ−≤，故222abcbccaabλλλλλλ++−+−+−+≥222222abcbccaab+++++由柯西不等式可知()()()222abcbcacab+++++⎡⎤⎣⎦222222abcbccaab⎛⎞++⎜⎟+++⎝⎠()22abc≥++从而222222abcbccaab+++++≥()()()()22222abcabcbcacab+++++++=()()223abcabbcac++++又()22abc++=6()abbcac+++()()()222bccaab−+−+−()6abbcac≥++故222222abcbccaab+++++≥2即222abcbccaabλλλλλλ++−+−+−+≥2当且仅当2abcλ===时等号成立。例3.1.5：已知……12,,,naaa为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式…………12222111122naaann+++≥+++。证明：由柯西不等式：211(1)2n+++……12212111()12nnaaanaaa=⋅+⋅++⋅……1222212111()()12nnaaanaaa≤++++++…………于是……………………1222212111112(1)111122nnaaannnaaa++++++≥++++++。10又因为……12,,,naaa为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小于n，这样就有…………1211121111nnaaa+++≥+++。所以有…………………