高考数学计算试题分类汇编17――函数

知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第1页共35页2010年高考数学试题分类汇编——函数（2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。若实数x、y、m满足xmym，则称x比y接近m.（1）若21x比3接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：22abab比33ab接近2abab；（3）已知函数()fx的定义域,,DxxkkZxR.任取xD，()fx等于1sinx和1sinx中接近0的那个值.写出函数()fx的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.解析：(1)x(2,2)；(2)对任意两个不相等的正数a、b，有222abababab，332ababab，因为22332|2||2|()()0ababababababababab，所以2233|2||2|ababababababab，即a2bab2比a3b3接近2abab；(3)1sin,(2,2)()1|sin|,1sin,(2,2)xxkkfxxxkxxkk,kZ，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间[,)2kk单调递增，在区间(,]2kk单调递减，kZ．（2010湖南文数）21．（本小题满分13分）已知函数()(1)ln15,afxxaxax其中a0,且a≠-1.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设函数332(23646),1(),1(){xxaxaxaaexefxxgx（e是自然数的底数）。是否存在a，使()gx在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第2页共35页知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第3页共35页（2010浙江理数）(22)(本题满分14分)已知a是给定的实常数，设函数22()()()fxxaxbe，bR，xa是()fx的一个极大值点．(Ⅰ)求b的取值范围；(Ⅱ)设123,,xxx是()fx的3个极值点，问是否存在实数b，可找到4xR，使得1234,,,xxxx的某种排列1234,,,iiiixxxx(其中1234,,,iiii=1,2,3,4)依次成等差数列?若存在，求所有的b及相应的4x；若不存在，说明理由．解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)2(3)2,xabxbaba令222()(3)2,=(3-a+b)4(2)(1)80,gxxabxbabababaab则于是，假设1212,()0.xxgxxx是的两个实根，且（1）当x1=a或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。（2）当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1ax2.即()0gx即2(3)20aabababa所以b＜-a所以b的取值范围是（-∞，-a）此时4223xxaab2(1)826abaa或4223xxaab2(1)826abaa（2）当21xaax时，则212()xaax或12()2()axxa知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第4页共35页于是1ab9132此时42(3)3(3)1133242axaababxba综上所述，存在b满足题意，当b=-a-3时，426xa7132ba时，41132xa7132ba时，41132xa（2010全国卷2理数）（22）（本小题满分12分）设函数1xfxe．（Ⅰ）证明：当x＞-1时，1xfxx；知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第5页共35页（Ⅱ）设当0x时，1xfxax，求a的取值范围．【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【参考答案】知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第6页共35页【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.（2010陕西文数）21、(本小题满分14分)已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，aR。（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（2）设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；（3）对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时，（a）1.解（1）f’(x)=12x,g’(x)=ax(x0),由已知得x=alnx，12x=ax，解德a=2e,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e）切线的斜率为k=f’(e2)=12e,切线的方程为y-e=12e(x-e2).（2）由条件知知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第7页共35页Ⅰ当a.0时，令h'(x)=0,解得x=24a,所以当0x24a时h'(x)0，h(x)在（0，24a）上递减；当x24a时，h'(x)0，h(x)在（0，24a）上递增。所以x24a是h(x)在（0，+∞）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以Φ（a）=h(24a)=2a-aln24a=2Ⅱ当a≤0时，h(x)=(1/2-2a)/2x0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。故h(x)的最小值Φ（a）的解析式为2a(1-ln2a)(ao)（3）由（2）知Φ（a）=2a(1-ln2a)则Φ1（a）=-2ln2a，令Φ1（a）=0解得a=1/2当0a1/2时，Φ1（a）0，所以Φ（a）在(0,1/2)上递增当a1/2时，Φ1（a）0，所以Φ（a）在(1/2,+∞)上递减。所以Φ（a）在(0,+∞)处取得极大值Φ（1/2）=1因为Φ（a）在(0,+∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值所当a属于(0,+∞)时，总有Φ（a）≤1（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln1fxaxax.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx.解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，2121()2aaxafxaxxx.当a≥0时，()fx＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，()fx＜0,故f(x)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令()fx＝0,解得x=12aa.当x∈(0,12aa)时,()fx＞0；x∈(12aa，+)时，()fx＜0,故f(x)在（0,12aa）单调增加，在（12aa，+）单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第8页共35页所以1212()()4fxfxxx等价于12()()fxfx≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则1()2agxaxx+4＝2241axxax.于是()gx≤2441xxx＝2(21)xx≤0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，1212()()4fxfxxx.（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）已知函数1ln)1()(2axxaxf（I）讨论函数)(xf的单调性；（II）设1a.如果对任意),0(,21xx，||4)()(|2121xxxfxf，求a的取值范围。解：（Ⅰ）()fx的定义域为（0，+∞）.2121'()2aaxafxaxxx.当0a时，'()fx＞0，故()fx在（0，+∞）单调增加；当1a时，'()fx＜0，故()fx在（0，+∞）单调减少；当-1＜a＜0时，令'()fx=0，解得12axa.则当1(0,)2axa时，'()fx＞0；1(,)2axa时，'()fx＜0.故()fx在1(0,)2aa单调增加，在1(,)2aa单调减少.（Ⅱ）不妨假设12xx，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第9页共35页12,(0,)xx，1212()()4fxfxxx等价于12,(0,)xx，2211()4()4fxxfxx①令()()4gxfxx，则1'()24agxaxx①等价于()gx在（0，+∞）单调减少，即1240aaxx.从而22222241(21)42(21)2212121xxxxaxxx故a的取值范围为（-∞，-2].……12分（2010全国卷2文数）（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。（2）求出函数的导数()fx，在（2，3）内有极值，即为()fx在（2，3）内有一个零点，即可根据(2)(3)0ff，即可求出A的取值范围。（2010江西理数）19.（本小题满分12分）设函数lnln2(0)fxxxaxa。（1）当a=1时，求fx的单调区间。（2）若fx在01，上的最大值为12，求a的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。解：对函数求导得：11()2fxaxx，定义域为（0，2）（1）单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当a=1时，令2112()0+1=0022xfxxxxx得（）知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：[e-mail]第10页共35页当(0,2),()0,xfx为增区间；当(22),()0,xfx，为减函数。（2）区间01，上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。当01x，有最大值，则必不为减函数，且11()2fxaxx0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。max1(1)2ffa