1.1.3导数的几何意义(2课时)

3.1.3导数的几何意义①平均变化率fx121)()fxxx2f(x函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:②割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△yfkx121)()fxxx2f(x复习：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:0000()(),limlimxxfxffxxxx我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x=x0即00000()()'(),limlimxxfxfffxxxxx复习：函数f(x)在处的瞬时变化率。0xx我们知道：0()fx导数表示：反映了函数f(x)在附近的变化情况。0xx那么：0()fx导数的几何意义是什么呢？设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.注意:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;PQoxyy=f(x)割线切线T②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线导数的几何意义：oxy)(xfy0xTM000()()().yfxfxxx0()yfxx函数在点处的导数的几何意义就是：00()(,()fxPxfx曲线在点处切线的斜率。切线方程为：例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②利用导数的几何意义求出切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.练习1.2已知直线4y+x+1=0,求曲线y=2x-1上与已知直线垂直的切线方程.2.2抛物线y=2x+1在哪一点的切线平行于直线y=4x-2?在哪一点的切线垂直于直线x+8y-3=0?例题讲解：关注用导数本质及其几何意义解决问题从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到：当x=x0时，是一个确定的数。0()fx()()xfxxfx这样，当变化时，便是的一个函数导函数，我们称（简它为的称导数）()yfxy的导函数有时也记作：即：0()()()limxfxxfxfxyx思考题函数)(xf在某点0x处的导数)(0xf与导函数)(xf有什么区别与联系？思考题解答由导数的定义知，)(0xf是一个具体的数值，)(xf是由于)(xf在某区间I上每一点都可导而定义在I上的一个新函数，即Ix，有唯一值)(xf与之对应，所以两者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两者的联系是：在某点0x处的导数)(0xf即是导函数)(xf在0x处的函数值．如何求函数y=f(x)的导数?(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数.yxy例4.已知，求xyxxxxxx解：1yxxxx0011limlim.2xxyyxxxxx看一个例子:小结1.导数的实质:就是瞬时变化率；2.导数的几何意义:切线的斜率;3.导数表示了现实生活中事物的发展在某一时刻的瞬时变化发展情况，它的符号刻划变化的增减，它的绝对值反映了变化的快慢;4.求导数最基本的方法:由定义求导数.①平均变化率fx121)()fxxx2f(x②割线的斜率fkx121)()fxxx2f(x0000()(),limlimxxfxffxxxx00000()()'(),limlimxxfxfffxxxxx③瞬时变化率④函数在某点处的导数00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx⑤导函数（就是曲线在该点处的切线的斜率）小结一、要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy二、求切线方程的步骤：（2）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf（1）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。)(xf三、弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”之间的区别与联系。的值相切，求直线处与，且在点过点已知抛物线c,b,a3xy)1,2()1,1(cbxaxy2教材P10A组题已知曲线在点P(1,1)处的切线与直线m平行且距离等于,求直线m的方程.31xy10