高一数学必修3概率部分知识点总结及习题训练教师版

第1页共13页概率部分知识点总结事件：____________，确定性事件:_____________和____________随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A在n次实验中发生了m次，当实验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为()____PA»概率是频率的__________，频率是概率的_________概率必须满足三个基本要求：①对任意的一个随机事件A，有_________②()(),__,__PPWFW=F=用和分别表示必然事件和不可能事件则有③如果事件(),:________ABPAB+=和互斥则有古典概率：①___________②_______________满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n，则每一个基本事件发生的概率都是__，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为()___PA=求古典概型概率的方法：___________、___________、___________、___________几何概型：一般地，一个几何区域D中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为()PA=__________（一般地，线段的测度为该线段的长度；平面多变形的测度为该图形的面积；立体图像的测度为其体积）几何概型的基本特点：①____________②_______________互斥事件：___________________________称为互斥事件对立事件：____________________________,则称两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为：A注意：①若,B,,B,中最多有一个发生则为互斥事件AA可能都不发生，但不可能同时发生，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集②对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生③对立事件一定是互斥事件④从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集⑤两个对立事件的概率之和一定是1，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1⑥若事件BA,是互斥事件，则有BPAPBAP⑦一般地，如果nAAA,...,,21两两互斥，则有nnAPAPAPAAAP......2121⑧APAP1⑨在本教材中nAAA...21指的是nAAA,...,,21中至少发生一个⑩在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件事件A和事件B的和：_______________________________________________________第2页共13页事件A和事件B的积：_______________________________________________________例题选讲：例1.在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法解法1：（互斥事件）设事件A为“选取2个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A意义为“选取2个球都是其它颜色球”1514151-1AP-1AP1512)56(1AP答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为1514.解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有15256种情况，设事件A为“选取2个球至少有1个是红球”，而事件A所含有的基本事件数有1423424所以1514AP答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为1514.变式训练1：在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？解法1：（互斥事件）设事件A为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A，意义为“选取3个球都是白球”5451-1AP-1AP51425364123)456(123234AP3634CC答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为54.解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有2012345636C种情况，设事件A为“选取3个球至少有1个是红球”，而事件A所含有的基本事件数有16234241224C，所以542016AP答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为54.变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：（1）第1次抽到的是次品（2）抽到的2次中，正品、次品各一次解：设事件A为“第1次抽到的是次品”，事件B为“抽到的2次中，正品、次品各一次”第3页共13页则3162AP，94664224BP（或者9462646462BP）答：第1次抽到的是次品的概率为31，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为94变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来解：设事件A为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件B为“至少1人抽到选择题”，则B为“两人都抽到填空题”（1）10356331035363261313PPPAPAP或者（2）515152632623PPBPBP或者则545111BPBP答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为103，少1人抽到选择题的概率为54.例2.将一颗骰子向上抛掷两次，所得点数分别为a和b，则函数221yxabx在5,7上不是单调函数的概率是（）Ａ．14Ｂ．16Ｃ．536Ｄ．12C.因为函数221yxabx在5,7上不是单调函数，所以对称轴落在区间内，则有57ab，而*abN，得6ab，这时,ab的取值有5,1,4,2,3,3,2,4,1,5共5种，总数有36种，故所求的概率为536.变式训练1：设关于x的一元二次方程022baxx，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.设事件A为“方程022baxx有实根”。当0,0ba时，方程022baxx有实根的充要条件是ba2，事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为43129AP。变式训练2：有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两个同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A.13B.12C.23D.34第4页共13页图2总共的方法数为339，甲、乙参加同一个兴趣小组的方法数为13C，所以这两个同学参加同一个兴趣小组的概率为3193，故选A变式训练3：将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求：(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个奇数的概率；(3)以第一次向上点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15内部的概率.将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件.(1)记“两数之和为5”为事件A,则事件A中含有4个基本事件,所以41().369PA(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B,则事件B与“两数均为偶数”为对立事件,所以93()1.364PB(3)基本事件总数为36,点(x,y)在圆x2+y2=15的内部记为事件C,则C包含8个事件,82().369PC所以变式训练4.袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求：(1)3个全是红球的概率．(2)3个颜色全相同的概率．(3)3个颜色不全相同的概率．(4)3个颜色全不相同的概率．（1）271；（2）91；（3）98；（4）92例2.如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）Ａ．42Ｂ．44Ｃ．22Ｄ．24【命题意图】几何概率问题【易错分析】若对图形的对称性把握不好，则较难求出1片阴影部分的面积，且易将其面积错算为22111144，以致错选答案B【完美答案】C.设正方形的边长为2，则1片阴影部分的面积为22211112142，所以阴影部分的面积41242AS，22PA，故选C.第5页共13页BDCPA变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？略解：324141442222测度测度DdAP变式训练2：如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A．21πB．112πC．2πD．1π解析：令1OA，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为1S，围成OC为2S，作对称轴OD，则过C点。2S即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，82212121212122S。在扇形OAD中21S为扇形面积减去三角形OAC面积和22S，1622811812221SS，4221SS，扇形OAB面积41S，选A.变式训练3：如图，已知矩形在正方形内，中,7AC,5ABABCD,P任取一点90APB求的概率？略解：5657525212AP变式训练4：平面上画了彼此相距2a的平行线把一枚半径ra的硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？解：设事件A为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线OM，垂足为M，线段OM的长度的取值范围为a,0，其长度就是几何概型所有的可能性构成的区域D的几何测度，只有当aOM0时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足事件A的区域d的几何测度，所以rM2a第8题图第6页共13页araaarAP的长度的长度,0,答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为ara变式训练5.右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．1000NPB．41000NPC．1000MPD．41000MP【解析】M表示落入扇形的点的个数，1000表示落入正方形的点的个数，则点落入扇形的概率为1000M，由几何概型知，点落入扇形的概率为4，则10004MP，故选D例3：甲乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？解：设“两人能会面”为事件A，以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件为：15yx在平面上建立如图所示的坐标系，则yx,的所有可能的结果是边长为60的正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，由几何概型知，167604560222SSAPA答：两人能会面的概率167.例4：如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求ACAM的概率？【分析】点M随机的落在线段AB