新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分式化简与求值

新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分式化简与求值菁优网©2010-2014菁优网新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分式化简与求值一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）已知x2+x﹣3=0，则=_________．2．（4分）若，则=_________．3．（4分）若a、b、c满足解：a+b+c=0，abc＞0，且，y=，则x+2y+3xy=_________．4．（4分）已知，则=_________．5．（4分）若，则的值是_________或_________．6．（4分）若==，那么的值等于_________．7．（4分）已知a、b、c满足a2+b2+c2=1，，那么a+b+c的值为_________．8．（4分）已知，，，则x的值为_________．9．（4分）若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为_________．二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）10．（3分）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：①②③④．其中正确的是（）A．①③B．①④C．②④D．②③11．（3分）如果，，那么等于（）A．1B．2C．3D．4菁优网©2010-2014菁优网12．（3分）设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（）A．3b=2cB．3a=2bC．2b=cD．2a=b13．（3分）若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则的值等于（）A．B．C．﹣15D．﹣1314．（3分）设轮船在静水中速度为v，该船在流水（速度为u＜v）中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设u=0，即河流改为静水，该船从A至B再返回A，所用时间为t，则（）A．T=tB．T＜tC．T＞tD．不能确定T、t的大小关系15．（3分）设a、b、c满足abc≠0，且a+b=c，则的值为（）A．﹣1B．1C．2D．316．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A．﹣1B．C．2D．17．（3分）已知﹣列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，且a1=8，a7=5832，，则a5为（）A．648B．832C．1168D．194418．（3分）已知x2﹣5x﹣1991=0，则代数式的值为（）A．1996B．1997C．1998D．1999三、解答题（共9小题，满分87分）19．（10分）（1）化简，求值：，其中a满足a2+2a﹣1=0；（2）设a+b+c=0，求的值．20．（8分）已知，其中x、y、z互不相等，求证：x2y2z2=1．菁优网©2010-2014菁优网21．（9分）（1）已知b2=ac，求的值；（2）已知x、y、z满足，求代数式的值．22．（10分）设a、b、c满足，求证：当n为奇数时，．23．（10分）已知a2﹣a﹣1=0，且，求x的值．24．（10分）（1）已知实数a满足a2﹣a﹣1=0，求a8+7a﹣4的值．（2）已知，求的值．25．（10分）已知xyz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16，求代数式的值．26．（10分）不等于0的三个数a、b、c满足，求证：a、b、c中至少有两个互为相反数．27．（10分）（2001•天津）某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员．他们先用两天将第一、二两个车间的成品检验完毕后，再去检验第三、四两个车间所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，B组检验员也检验完余下的五个车间的成品，如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．（1）用a，b表示B组检验员检验的成品总数；（2）求B组检验员的人数．菁优网©2010-2014菁优网新课标八年级数学竞赛培训第05讲：有条件的分式化简与求值参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）已知x2+x﹣3=0，则=﹣3．考点：分式的基本性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由已知条件x2+x﹣3=0，得x2+x=3，代入所求的式子就可以求出式子的值．解答：解：由已知条件x2+x﹣3=0，得x2+x=3，∴原式===﹣3．故答案为﹣3．点评：分式变形后，分子与分母整体约分，是解决本题的基本方法．2．（4分）若，则=．考点：分式的化简求值．菁优网版权所有专题：计算题；整体思想．分析：先将化简为含有的形式，然后代入进行求值．解答：解：===，把代入得：a×=．故答案为：．菁优网©2010-2014菁优网点评：本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是把所求分式化简成含有的形式，然后根据条件求解．3．（4分）若a、b、c满足解：a+b+c=0，abc＞0，且，y=，则x+2y+3xy=2．考点：分式的化简求值．菁优网版权所有专题：计算题；探究型．分析：由a+b+c=0，abc＞0，可确定出a、b、c三个数中必有两个为负值，一个为正值根据绝对值的含义及可得出x=﹣1由a+b+c=0与推出y=3将x、y代入x+2y+3xy即可求解．解答：解：由a+b+c=0，abc＞0可知a、b、c三个数中必有两个为负值，一个为正值，a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，∴=1﹣1﹣1=﹣1，，=，=，=，=，=，=，=﹣3，则x+2y+3xy=﹣1+2×（﹣3）+3×（﹣1）×（﹣3）=2，故答案为2．点评：本题主要运用a3+b3+c3=3abc（a+b+c=0）这一结论及绝对值的含义来解题．同学们一定弄清y的推导过程．4．（4分）已知，则=．考点：分式的化简求值．菁优网版权所有专题：计算题．菁优网©2010-2014菁优网分析：设=k，则a=﹣，b=，c=，代入即可求出答案．解答：解：设=k，解得：a=﹣，b=，c=，代入，=，=．故答案为：．点评：本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是设出=k，把a，b，c分别用k表示出来，然后再代入求解．5．（4分）若，则的值是﹣2或0．考点：分式的化简求值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：引入参数，利用参数寻找a、b、c、d的关系．设=k，根据关系即可求得k的值，进而求解．解答：解：设=k，则d=ak，c=dk=ak2，b=ck=ak3，a=bk=ak4．∴k4=1，即k=±1．当k=1时，a=b=c=d．原式=0；当k=﹣1时，则a=﹣b=c=﹣d，则原式=﹣2．点评：在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．6．（4分）若==，那么的值等于8或﹣1．考点：分式的化简求值．菁优网版权所有分析：观察与发现，后者是通过前者相乘得来．那么只要找出的值解出，因此设通过变换化为（a+b+c）（k﹣2）=0那么可能是a+b+c=0或k=2对这两种情况分别讨论．解答：解：设若===k，则a+b=kc，b+c=ka，c+a=kb（a+b）+（b+c）+（c+a）=kc+ka+kb2（a+b+c）=k（a+b+c）菁优网©2010-2014菁优网即（a+b+c）（k﹣2）=0所以a+b+c=0或k=2①当a+b+c=0时，则a+b=﹣c，，同理、所以=﹣1②当k=2时，所以=8故答案为8或﹣1点评：做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设，做到这步已经成功了一半．因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系．7．（4分）已知a、b、c满足a2+b2+c2=1，，那么a+b+c的值为0，1，﹣1．考点：分式的化简求值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由，那么（a+b+c）（++）=0，即可求解．解答：解：由，那么（a+b+c）（++）=0，∴a+b+c=0或++=0，当++=0时，ab+bc+ac=0，∵a、b、c满足a2+b2+c2=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，∴a+b+c=±1，故答案为：0或1或﹣1．点评：本题考查了分式的化简求值，属于基础题，关键是由变形为（a+b+c）（++）=0．8．（4分）已知，，，则x的值为．考点：分式的化简求值．菁优网版权所有专题：计算题；整体思想．分析：已知=1，=2，=3，则：=1，即=1；（1）菁优网©2010-2014菁优网，即；（2），即．（3）利用加减法解这个三元方程组即可．解答：解：已知=1，=2，=3，则：=1，即=1；（1），即；（2），即．（3）（2）﹣（3）得到：（4）（1）﹣（4）得到：=，解得：x=．故答案为：．点评：把已知=1变形为=1是解决本题的关键，巧妙利用整体思想可使问题得到有效解决．9．（4分）若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为1．考点：代数式求值；解分式方程．菁优网版权所有分析：先用未知数x表示y，z，再根据解分式方程的步骤求出x的值，代入从而得到xyz的值．解答：解：因为，所以4（4x﹣3）=x（4x﹣3）+7x﹣3，解得．从而，．于是．故答案为1．点评：本题考查了分式方程的解法．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．本题解题的关键是用一个未知数表示另两个未知数．二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）菁优网©2010-2014菁优网10．（3分）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：①②③④．其中正确的是（）A．①③B．①④C．②④D．②③考点：分式的化简求值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：利用已知条件a、b、c、d都是正实数，且，进行灵活变形即可得出答案．解答：解：，故选D．点评：本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是运用已知条件进行灵活变形．11．（3分）如果，，那么等于（）A．1B．2C．3D．4考点：分式的化简求值．菁优网版权所有分析：所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．解答：解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，展开，得1﹣﹣a+=1去分母，得ac+2=2a两边同除以a，得c+=2．故选B．点评：本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运用这种变形方法．12．（3分）设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（）A．3b=2cB．3a=2bC．2b=cD．2a=b考点：比例的性质；分式的化简求值．菁优网版权所有分析：利用等比性质即可求得a=2b，代入即可求得b，c的关系．解答：解：由等比性质可得：===，∴a=2b，把a=2b代入=得，3b=2c．菁优网©2010-2014菁优网故选A．点评：本题主要考查了等比性质，正确利用等比性质是解决本题的关键．13．（3分）若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则的值等于（）A．B．C．﹣15D．﹣13考点：解三元一次方程组．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先由解得，再代入即可．解答：解：由解得，代入==﹣13，故选D．点评：本题的实质是考查三元一次方程组的解法通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．14．（3分）设轮船在静水中速度为v，该船在流水（速度为u＜v）中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设u=0，即河流改为静水，该船从A至B再返回A，所用时间为t，则（）A．T=t