直线与圆的方程例题(总结版)1

1【考试大纲要求】1．理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．4．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.6．掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程．【基础知识归纳】1．直线方程（1）直线的倾斜角直线倾斜角的取值范围是：0180.（2）直线的斜率)90(tank.倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是（－∞，+∞）.(3)直线的方向向量设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量21FF=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量向量121xx21FF=（1，1212xxyy）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于x轴的直线的一个方向向量为a＝(0,1).说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的．每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系．（4）直线方程的五种形式点斜式：)(00xxkyy，(斜率存在)斜截式：bkxy(斜率存在)两点式：121121xxxxyyyy，(不垂直坐标轴)截距式：1byax(不垂直坐标轴,不过原点)一般式：0CByAx.引申：过直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC交点的直线系方程为：111222()0AxByCAxByC（λ∈R）(除l2外)．2．两条直线的位置关系（1）直线与直线的位置关系存在斜率的两直线111:lykxb；222:lykxb.有：①12ll12kk且12bb；②12ll121kk；③1l与2l相交12kk；0④1l与2l重合12kk且12bb.一般式的直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC.有①12ll12210ABAB；且12210BCCB;②12ll12120AABB;2③1l与2l相交12210ABAB;④1l与2l重合12210ABAB；且12210BCCB（2）点与直线的位置关系若点00(,)Pxy在直线0CByAx上，则有000AxByC；若点00(,)Pxy不在直0CByAx上，则有000AxByC，此时点00(,)Pxy到直线0CByAx的距离为2200BACByAxd．平行直线10AxByC与20AxByC之间的距离为2221BACCd．（3）两条直线的交点直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC的公共点的坐标是方程11122200AxByCAxByC的解相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.重合方程组有无数解.3．曲线与方程4.圆的方程(1)圆的定义(2)圆的方程标准式：222()()xaybr，其中r为圆的半径，(,)ab为圆心．一般式：220xyDxEyF（2240DEF）.其中圆心为,22DE，半径为22142DEF参数方程:cossinxryr，cos(sinxarybr是参数）.消去θ可得普通方程5.点与圆的位置关系判断点(,)Pxy与圆2()xa22()ybr的位置关系代入方程看符号.6.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.有两种判断方法：（1）代数法：（判别式法）0,0,0时分别相离、相交、相切.（2）几何法：圆心到直线的距离,,drdrdr时相离、相交、相切.7．弦长求法（1）几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则2222ldr．（2）解析法：用韦达定理，弦长公式.8．圆与圆的位置关系3yxOBAFEPC题型1：直线的倾斜角1．（07·上海）直线014yx的倾斜角．答案：4arctanπ解析：直线014yx可化为14xy，），（　2,4tank4arctanπ．题型2：直线的斜率2．（08·安徽卷）若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．[3,3]B．(3,3)C．33,33D．33,33答案：C解析：记圆心为(2,0)D,记上、下两切点分别记为BC、，则30BADCAD，∴l的斜率00tan150,tan30,k即33,33k.题型3直线的方程3．（07·浙江）直线210xy关于直线1x对称的直线方程是（）Ａ．210xyＢ．210xyＣ．230xyＤ．230xy答案：D解析：(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于1x对称点为(2-x,y)在直线210xy上,即0122yx，化简得答案D.题型4：直线方程的综合题4．（08·江苏卷）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F，一同学已正确算的OE的方程：11110xybcpa，请你求OF的方程：___________________.答案：11110xycbpa4解析：直线AB的方程为1aybx①直线CP的方程为1pycx②②-①得11110xycbpa，直线AB与CF的交点F坐标满足此方程，原点O的坐标也满足此方程，所以OF的方程为11110xycbpa.（若敢于类比猜想，交换x的系数中b、c的位置，便很快可得结果.）题型5：直线与直线的位置关系5．（06·福建）已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于()A．2B．1C．0D．1答案D解析：两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则(2)1aa，∴a=－1，选D.题型6：点与直线的位置关系6．（06·湖南）圆224xyx4100y上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是()A．36B.18C.26D.25答案C解析：圆0104422yxyx的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到直线014yx的距离为|2214|25232，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=62，选C.题型7：平行线间的距离【例7】（07·四川）如图，1l、2l、3l是同一平面内的三条平行直线，1l与2l间的距离是1，2l与3l间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在1l、2l、3l上，则△ABC的边长是()A．23B．364C．3174D．2213【答案】D【解析】过点Ｃ作2l的垂线4l，以2l、4l为x轴、y轴建立平面直角坐标系．设(,1)Aa、(,0)Bb、(0,2)C，由ABBCAC知222()149abba边长2，检验A：222()14912abba，无解；5检验B：22()14abb23293a，无解；检验D：22()14abb22893a，正确.题型8：动点的轨迹方程8．（08·上海）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点()Pxy，、点()Pxy，满足xx≤且yy≥，则称P优于P．如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧()Ａ．弧ABB．弧BCC．弧CDD．弧DA答案D解析：分别在弧AB、弧BC、弧CD、弧DA上任意取一点Q，只有在弧DA上的点Q满足不存在中的其它点优于Q，故选D．题型9：圆的方程9.(06·重庆)以点（2，－1）为圆心且与直线3450xy相切的圆的方程为（）A．22(2)(1)3xyB．22(2)(1)3xyC．22(2)(1)9xyD．22(2)(1)3xy答案C解析22|32415|34r－（－）＋＋＝3，故选C.10.。（08·福建)若直线3x+4y+m=0与圆sin2cos1yx（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是.解析：将圆化成标准方程得1)2()1(22yx，圆心)2,1(，半径1r.直线与圆相离，∴143)2(41322m，∴55m，∴100mm或.题型10：直线与圆的位置关系11.（09•辽宁）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（）A.22(1)(1)2xyB.22(1)(1)2xyABCDOxy6C.22(1)(1)2xyD.22(1)(1)2xy答案B解析：圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.题型11：圆与圆的位置关系12．（07·山东）与直线xy20和曲线221212540xyxy都相切的半径最小的圆的标准方程是_____答案22(2)(2)2xy【解析】曲线化为22(6)(6)18xy，其圆心到直线20xy的距离为66252.2d所求的最小圆的圆心在直线yx上，其到直线的距离为2，圆心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2xy.【重点方法提炼】在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围．（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解．（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．（4）有关圆的问题解答时，应注意利用圆的平面几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆相切的性质，这样可以使问题简化．（5）对独特的数学方法——坐标法要引起足够重视．要注意学习如何借助于坐标系，用代数方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想．（6）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终．1.（2004年湖北，文2）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3∶2，则m的值为A.－23B.－32C.41D.4解析：设M（x，y），点M分M1M2所成比为λ=23.得x=231236=3，y=2317236=5.代入y=mx－7，得m=4.答案：