压轴大题巧突破(三)利用导数研究函数的极值、最值问题

教你如何化整为零破难题教你如何规范解答不失分教你如何易错警示要牢记[典例](2013·浙江高考)(14分)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．压轴大题巧突破压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题[典例](2013·浙江高考)(14分)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．教你如何化整为零破难题【化整为零】第（1）问切点处的导数值即为切线的斜率，求导后计算出斜率，写出切线方程即可.压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题[典例](2013·浙江高考)(14分)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．教你如何化整为零破难题【化整为零】第(2)问基础问题1：|f(x)|的最大值与f(x)的最值之间有什么关系？如果函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则|f(x)|的最大值必定是|M|和|m|中的一个．因此要求|f(x)|的最大值，应求f(x)的最值．压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题[典例](2013·浙江高考)(14分)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．教你如何化整为零破难题【化整为零】第(2)问基础问题2：如何求函数y＝f(x)，x∈[0,2]的最值？由于f(x)是关于x的三次函数,因此,f(x)在[0,2]上的最值为函数f(x)在[0,2]上的端点值或极值.从而只要求出f(x)在[0,2]上的端点值f(0)，f(2)及其极值，然后比较其绝对值的大小即可．压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题[典例](2013·浙江高考)(14分)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．教你如何化整为零破难题【化整为零】第(2)问基础问题3：如何求f(x)在[0,2]上的极值？要求f(x)在[0,2]上的极值，应利用导数研究函数f(x)在区间[0,2]上的单调性，即研究f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)(0≤x≤2)的函数值符号，由于0≤x≤2，所以0≤3(x－1)2≤3.故应分3(a－1)≥0,3(a－1)≤－3,－33(a－1)0，即a≥1，a≤0,0a1三种情况讨论．当a≥1或a≤0时，函数f(x)为单调函数，故只需比较|f(0)|与|f(2)|的大小即可；当0a1时，f(x)在区间[0,2]上存在极大值和极小值．压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题[典例](2013·浙江高考)(14分)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．教你如何化整为零破难题【化整为零】第(2)问基础问题4：如何比较|f(0)|、|f(2)|、|f(x)极大值|与|f(x)极小值|的大小？计算f(x)极大值＋f(x)极小值＝20，f(x)极大值－f(x)极小值0，从而可确定f(x)极大值|f(x)极小值|.因此|f(x)|max＝max｛|f(0)|、|f(2)|、|f(x)极大值|｝，由于0a2/3时，|f(0)||f(2)|，2/3≤a1时，|f(2)|＝f(2)≥|f(0)|.故当0a2/3时，只需比较|f(0)|与f(x)极大值的大小即可；当2/3≤a1时，只需比较f(2)与f(x)极大值的大小即可．压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题教你如何化整为零破难题流程汇总【化整为零】第（1）问切点处的导数值即为切线的斜率，求导后计算出斜率，写出切线方程即可.第(2)问基础问题1：|f(x)|的最大值与f(x)的最值之间有什么关系？如果函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则|f(x)|的最大值必定是|M|和|m|中的一个．因此要求|f(x)|的最大值，应求f(x)的最值．第(2)问基础问题2：如何求函数y＝f(x)，x∈[0,2]的最值？由于f(x)是关于x的三次函数,因此,f(x)在[0,2]上的最值为函数f(x)在[0,2]上的端点值或极值.从而只要求出f(x)在[0,2]上的端点值f(0)，f(2)及其极值，然后比较其绝对值的大小即可．第(2)问基础问题3：如何求f(x)在[0,2]上的极值？要求f(x)在[0,2]上的极值，应利用导数研究函数f(x)在区间[0,2]上的单调性，即研究f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)(0≤x≤2)的函数值符号，由于0≤x≤2，所以0≤3(x－1)2≤3.故应分3(a－1)≥0,3(a－1)≤－3,－33(a－1)0，即a≥1，a≤0,0a1三种情况讨论．当a≥1或a≤0时，函数f(x)为单调函数，故只需比较|f(0)|与|f(2)|的大小即可；当0a1时，f(x)在区间[0,2]上存在极大值和极小值．第(2)问基础问题4：如何比较|f(0)|、|f(2)|、|f(x)极大值|与|f(x)极小值|的大小？计算f(x)极大值＋f(x)极小值＝20，f(x)极大值－f(x)极小值0，从而可确定f(x)极大值|f(x)极小值|.因此|f(x)|max＝max｛|f(0)|、|f(2)|、|f(x)极大值|｝，由于0a2/3时，|f(0)||f(2)|，2/3≤a1时，|f(2)|＝f(2)≥|f(0)|.故当0a2/3时，只需比较|f(0)|与f(x)极大值的大小即可；当2/3≤a1时，只需比较f(2)与f(x)极大值的大小即可．压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题教你如何规范解答不失分解：(1)由题意得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3………………………………………2分又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.…………………………………4分(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故(ⅰ)当a≤0时①，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.…………5分(ⅱ)当a≥1时①，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1.…………6分压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题教你如何规范解答不失分(ⅲ)当0a1时，则0x1x22，f′(x)＝3(x－x1)(x－x2)．列表如下：x0(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)3－3a单调递增极大值f(x1)单调递减极小值f(x2)单调递增3a－1压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题教你如何规范解答不失分由于f(x1)＝f(x2)＝……8分故f(x1)＋f(x2)＝20，从而f(x1)|f(x2)|.②f(x1)－f(x2)＝所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}.10分a.当0a2/3时③，f(0)|f(2)|.又f(x1)－f(0)＝故|f(x)|max＝f(x1)＝压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题教你如何规范解答不失分b.当2/3≤a1时③，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．又f(x1)－|f(2)|＝所以当2/3≤a3/4时④，f(x1)|f(2)|.故f(x)max＝f(x1)＝当3/4≤a1时,④f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max＝|f(2)|＝3a－1…13分综上所述，|f(x)|max＝…………14分压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题教你如何易错警示要牢记易错点一①处易忽视对a≤0和a≥1两种情况的讨论，而直接令f′(x)＝0，求出而导致解题错误易错点二②处易发生不会比较f(x1)与|f(x2)|的大小，造成问题无法求解或求解繁琐，进而造成解题失误易错点三③处易发生不知如何比较f(0)，|f(2)|，f(x1)三者大小而造成问题无法后续求解．事实上，此处的分类依据是：先比较出f(0)与|f(2)|的大小，然后利用二者中的较大者再与f(x1)比较大小易错点四④处易忽视要得出f(x1)与f(0)及f(2)的大小关系，只需判断3－4a的符号即可，从而不能恰当分类，导致无法求解或求解错误压轴大题巧突破（三）利用导数研究函数的极值、最值问题点击此处可返回索引