2013年高考数学(理科)一轮复习课件第32讲：正弦定理和余弦定理

考纲要求考纲研读1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．会解四种基本类型的斜三角形问题．(1)已知两角和任一边，求其余两边和一角：可(2)已知两边及一边的对角，求其余两角和一边(可能无解或一解或两解)：可先利用正弦定理求出另一边的对角，再求出其余边角；(3)已知两边及其夹角，求第三边和其余两角(有唯一解)：可先利用余弦定理求出第三边，再求出其余两角；(4)已知三边，求三角：可利用余弦定理求出三内角.先求出第三角，再利用正弦定理求出其余两边；1．正弦定理＝＝＝2RabcsinAsinBsinC______________________(R为△ABC的外接圆半径)．2．余弦定理___________________.c2＝a2＋b2－2abcosC3．已知三角形的内角分别是A，B，C，命题AB⇔sinAsinB的依据是_____________________．大边对大角和正弦定理4．已知三角形的内角分别是A，B，C，命题AB⇔cosAcosB的依据是____________________________．余弦函数在[0，π]上是减函数A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件1．在△ABC中，“A＝π6”是“sinA＝12”的()A2．在△ABC中，sinA＝13，角A的对边长度为2，则外接圆半径是()A．3B．6C.2D.33．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且b2＋c2＋3bc＝a2，则∠A等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6AD5．在△ABC中，已知c＝102，C＝60°，a＝2033，则∠A＝______.4．若三角形三边长如下：①3,5,7；②10,24,26；③21,25,28，其中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的顺序依次为()A．①②③B．③②①C．③①②D．②③①解析：由32＋5272，得①为钝角三角形；由102＋242＝262，得②为直角三角形；由212＋252282，得③为锐角三角形．故选B.B45°考点1正弦定理、余弦定理的使用例1：(2011年江苏)在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c.(1)若sinA＋π6＝2cosA,求A的值；(2)若cosA＝13，b＝3c，求sinC的值．解析：(1)∵sinA＋π6＝2cosA，∴sinA＝3cosA.∴A＝π3.(2)∵cosA＝13，b＝3c，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝8c2，a＝22c.由正弦定理得：22csinA＝csinC，而sinA＝1－cos2A＝223，∴sinC＝13(也可以先推出直角三角形)．(1)已知三角形的两边和夹角求第三边时，通常使用余弦定理，无论这个角是什么方式给出的，都要求出其余弦值．(2)当给出两边和其中一边所对的角，通常使用正弦定理．(3)当已知三角形的三边时，可以求出所有角的余弦值和正弦值，还可以求出此三角形的面积．【互动探究】1．(2011年上海)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C两点之间的距离．解：由条件知：C＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得ACsinB＝ABsinC，即ACsin60°＝2sin45°.解得AC＝6.考点2判断三角形的形状例2：在△ABC中，若2cosBsinA＝sin，试判断CABC的形状．解析：∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0.∵0°A，B180°，∴A＝B故.ABC是等腰三角形．(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．【互动探究】2．在△ABC中，sinA＝sinB＋sinCcosB＋cosC，试判断这个三角形的形状．解：应用正弦定理、余弦定理，可得a＝b＋cc2＋a2－b22ca＋a2＋b2－c22ab，所以b(a2－b2)＋c(a2－c2)＝bc(b＋c)．所以(b＋c)a2＝(b3＋c3)＋bc(b＋c)．所以a2＝b2－bc＋c2＋bc.所以a2＝b2＋c2.所以△ABC是直角三角形．考点3正弦定理、余弦定理在交汇处的应用例3：(2011年山东)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．解析：(1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，所以cosA－2cosCcosB＝2c－ab＝2sinC－sinAsinB.即sinBcosA－2sinBcosC＝2sinCcosB－sinAcosB.即有sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．即sinC＝2sinA，所以sinCsinA＝2.(2)由(1)知sinCsinA＝2，所以有ca＝2.即c＝2a.又因为△ABC为的周长为5，所以b＝5－3a，由余弦定理得：b2＝c2＋a2－2accosB，即(5－3a)2＝(2a)2＋a2－4a2×14，解得a＝1，所以b＝2.在三角形中，向量的数量积给出了两边与夹角余弦的积，这个积与面积之间的关系是解题的关键．【互动探究】3．(2011年安徽)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为______.153解析：设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)cos120°，则a＝10.所以三边长为6,10,14.则△ABC的面积为S＝12×6×10×sin120°＝153.易错、易混、易漏12．对三角形中的角所受到哪些限制不清楚例题：在△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，c＝1，a＝2.(1)将cosC表示成b的函数，并求b的取值范围；(2)求cosC的取值范围．正解：(1)由三角形任意的两边之和大于第三边得：1＋2b，1＋b2，2＋b1，解出1b3.又∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝22＋b2－122·2·b＝b2＋34b＝14b＋3b，b的取值范围1b3.(2)设f(b)＝14b＋3b，(1b3)．∵1b3，∴14b＋3b≥14·2b·3b＝32.当且仅当b＝3b时，即b＝3时，等号成立．由于f(b)在区间(1，3)上单调递减，在区间(3，3)上单调递增，而f(1)＝f(3)＝1，∴cosC的取值范围是32，1.【失误与防范】求函数的值域时，要先求出或知道函数的定义域，这是解函数值域问题的通法在△ABC中，自变量b受到三重限制，要通过这三个不等式求出b的取值范围.1．解三角形时，首先要保证边和角的统一，用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一．2．在三角形中，若“角＋角＝定角”，不定的角将受到双重限制．3．三角形中任意一边的长，受到三重限制，当已知三边大小的关系时，如：abc，则只要b＋ca即可．意．2．三角函数是一种特殊的函数，经常会通过换元法转化为普通的函数，但要注意其定义域．1．遇到AB·AC时，学生容易理解成|AB|·|AC|.这一点要特别注