2013年高考数学(理科)一轮复习课件第37讲：数列的基本概念

考纲要求考纲研读1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.1.数列的通项公式揭示了项与项数之间的联系，要掌握求通项公式的常用方法．2．数列是一种特殊的函数，可结合函数的性质研究数列的性质，如研究数列的最大项、通项或前n项和的最值等问题.1．数列的定义一定顺序排列的一列数按照______________________称为数列，数列中的每个数称为该数列的项．数列可以看作是定义域为N*的非空子集的函数，其图象是一群孤立的点．2．数列的表示方法解析法递推法________、________、_______、_______．图象法列举法3．数列的分类(1)数列按项数的多少分为：有穷数列，无穷数列．(2)数列按前后项的大小来分：①递增数列：对于任何n∈N*，均有_________；②递减数列：对于任何n∈N*，均有_________；③摆动数列：例如：－1,1，－1,1，－1，…；④常数数列：例如：6,6,6,6，….4．通项公式序号如果数列{an}的第n项与_____之间可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an＝f(n)．并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．an＋1anan＋1an5．递推公式6．数列的前n项和与通项的公式(1)Sn＝________________.(2)an＝_________________.如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．如数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，其中an＝2an－1＋1是数列{an}的递推公式．a1＋a2＋…＋anS1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥21．数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式是()BB2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27A．an＝2n－1B．an＝2n－1C．an＝2nD．an＝2n＋13．已知数列{an}的前六项为1,1＋2,1＋6,1＋12,1＋20，…，则该数列的一个通项公式()CA．1＋n(n＋1)C．1＋n(n－1)B．1＋2nD．以上都不是4．下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的是_______(填序号)．①③5．如图9－1－1，第一个图中有1个●，第二个图中有3个●，第三个图中有7个●.按照此规律，第5个图中的●数目是____.图9－1－121考点1由数列的前几项写数列的通项公式例1：分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出．(1)22－12，32－13，42－14，52－15，…；(2)－12，16，－112，120，…；(3)0.9,0.99,0.999,0.9999，…；(4)5,4,5,4….解析：(1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5，恰比项数多1.分子中的22,32,42,52，恰是分母的平方，－1不变，故它的一个通项公式为an＝n＋12－1n＋1.(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符合因子(－1)n，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为1×2,2×3,3×4,4×5，则它的一个通项公式为an＝(－1)n1nn＋1.(3)∵0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01,0.999＝1－0.001，0.9999＝1－0.0001，又∵0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.0001＝10－4，∴它的一个通项公式为an＝1－10－n.(4)∵这个数列前4项构成一个摆动数列，奇数项是5，偶数项是4.∴它的一个通项公式为an＝4＋1＋－1n－12＝9＋－1n－12或者an＝5，n为奇数4，n为偶数.对于一个公式能否成为一个给出的前n项的数列的通项公式，需逐项加以验证，缺一不可．根据数列{an}的前n项求其通项公式，一般不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．另外，求通项公式，一般可通过观察数列中各项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要时可加以验证．已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：①负号用(－1)n与(－1)n＋1(或(－1)n－1)来调节，这是因为n与n＋1奇偶交错；②分数形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系；③对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列，等比数列(后面专门学习)和其他方法解决；④此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．【互动探究】1．已知数列的{an}的前四项分别为1,0,1,0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个数有()①an＝1－－1n2；②an＝sin2nπ2；③an＝12[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；④an＝1－cosnπ2，(n∈N*)；⑤an＝1n为正偶数，0n为正奇数.A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：对于③，将n＝3代入，a3＝3≠1，故③不是{an}的通项公式；由三角公式知；②和④实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1,0,1,0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{an}的通项公式；①显然是数列{an}的通项公式．综上可知，数列{an}的通项公式有三个，即有三种表示形式．2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，如图9－1－2：图9－1－2他们研究过图9－1－2(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图9－1－2(2)中的1,4,9,16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是)正方形数的是(A．289C．1225B．1024D．1378C考点2由递推关系式求数列的通项公式例2：已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，n∈N*.(1)若a1＝－1，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式；(2)若a1＝1，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式．解析：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1，可推测数列{an}的通项公式an＝－1.(2)a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15.可推测数列{an}的通项公式为an＝2n－1.数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列；适当配凑是本题进行归纳的前提，加强类比是探索某些规律的常用方法之一．【互动探究】153．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝_____.解析：∵a1－2＝－1∉N*，∴a2＝3a1＝3.∵a2－2＝1＝a1，∴a3＝3a2＝9.∵a3－2＝7，∴a4＝7.∵a4－2＝5，∴a5＝5.∵a5－2＝3＝a2，∴a6＝3a5＝15.考点3利用an与Sn的关系式求通项公式例3：已知数列{an}的前n项和为Sn.按照下列条件求数列的通项公式．(1)若Sn＝2n2－n，求数列{an}的通项公式；(2)若Sn＝n2＋n＋1，求数列{an}的通项公式．解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝2n2－n－2(n－1)2＋(n－1)＝4n－3.经检验n＝1时，a1＝1也适合an＝4n－3.所以数列{an}的通项公式是an＝4n－3.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n.所以数列{an}的通项公式是an＝3n＝1，2nn≥2.已知an求Sn时方法多种多样，但已知Sn求an的方法却是高度统一，化简关系式用Sn表示出an是关键．当n≥2时，若由an＝Sn－Sn－1求出的an对n＝1也成立，则an＝Sn－Sn－1，否则就分段表示．【互动探究】A4．(2011年四川)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×4C．44D．45解析：由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，则an＋1＝4an(n≥2)．∵a1＝1，∴a2＝3.则a6＝a2·44＝3×44，选A.注意：本题是从第二项起为等比数列．思想与方法12．用函数的思想探讨数列的单调性例题：已知单调数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，求k的取值范围．解析：∵an＝n2－kn(n∈N*)，∴an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.∵数列{an}单调递增，∴an＋1－an0，即2n＋1－k0恒成立．∴k2n＋1，则k3.其定义域为正整数集，若数列{an}递增，则必有—≤1，故k≤2.k2函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数单调，则数列一定单调，反之，若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键是数列是定义域为正整数集的特殊函数．所以，数列的单调性一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1an，则数列为递增数列，若an＋1an，则数列为递减数列．解本题易出现的错误是由an是关于n的二次函数，1．根据数列的前几项，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思想方法，考查了基本的数学分析能力和观察能力．熟知一些常见数列的通项公式可起到事半功倍的效果．一般步骤为：(1)分数中的分子与分母的特点；(2)相邻项的变化规律；(3)各项的符号特征；(4)拆项后的变化规律，并对此进行归纳、化归、展开联想．2．由Sn求an时利用公式an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2，注意验证a1是否包含在Sn－Sn－1的结果中，若不符合要单独列出，形如f(Sn，an，n)＝0的递推关系式，一般考虑上述公式．3．求数列中最大(最小)项的方法(1)若an最大，则an≥an＋1，an≥an－1，若an最小，则an≤an＋1，an≤an－1.(2)考虑数列的单调性．在根据数列的前几项写数列的通项公式时，要注意有些数列的通项公式并不是唯一的；在利用Sn求an时，一定要验证n＝1与n≥2时能否统一到一个式子中；数列是特殊的函数(自变量为正整数)，其单调性的判断与函数单调性的判断并不完全相同．