第二章_逻辑代数基本原理及公式化简

逻辑代数的基本运算基本逻辑电路逻辑代数的公式、规则公式法化简逻辑函数图解法(卡诺图)化简多输出函数的化简包含任意项的逻辑函数化简逻辑函数的变换、化简第2章逻辑代数及逻辑函数化简2.1逻辑代数的基本原理逻辑代数的基本概念和性质是由英国数学家乔治·布尔在19世纪中期首先提出的。又叫布尔代数。是数字系统分析和设计的数学工具。逻辑函数的表示：真值表，表达式，逻辑图、卡诺图、波形图。逻辑函数的生成：逻辑问题的描述—由文字叙述设计要求，抽象为逻辑表达式的过程。然后化简。实现逻辑设计的第一步。逻辑函数、逻辑变量的取值：０、１逻辑代数的基本运算：与、或、非1、“与”运算，逻辑乘2、“或”运算，逻辑加3、“非”运算，取反2.1.1逻辑代数的基本运算1、“与”运算：当决定一事件的所有条件都具备之后，这事件才会而且一定会发生，称这种关系为“与”逻辑关系，也称为逻辑乘。AB如图：用两个串联的开关A、B来控制一盏灯。灯亮的条件是开关A“与”开关B“同时”处在“合上”位置。假定：灯亮为“1”，不亮为“0”；开关“合上”为“1”，“断开”为“0”。灯的状态和开关的位置之间的关系例表如：2.1.1逻辑代数的基本运算1、“与”运算：常用真值表来表示逻辑命题的真假关系。真值表：把所有的条件的全部组合以表格的形式列出来，再把在每一种组合下对应的事件的值求出来，这样的表格即为真值表。每个条件有“0”、“1”两种状态，n个条件有2n个组合。真值表ABF001001110001F=A•B=AB2.1.1逻辑代数的基本运算1、“与”运算：两变量“与”运算的真值表和门电路符号。ABF真值表ABF001001110001ABF&F=A•B=A∧B=AB2.1.1逻辑代数的基本运算2、“或”运算：当决定一个事件的各个条件中，只要具备一个，事件就会发生，这样的关系称为“或”逻辑关系，或称逻辑加。AB如图：用两个并联的开关A、B来控制一盏灯。灯亮的条件，只要开关A“或”开关B在“合上”位置。假定：灯亮为“1”，不亮为“0”；开关“合上”为“1”，“断开”为“0”。把灯的状态和开关的位置之间的关系例表如下：2.1.1逻辑代数的基本运算2、“或”运算：F=A+BABF真值表ABF001001110111+ABF≥1F=A+B=A∨B2.1.1逻辑代数的基本运算3、“非”运算：就是否定。当决定事件的一个条件不具备时，事件就会发生；条件具备时，事件不会发生。称这种关系为“非”逻辑关系。A如图：用一个与灯并联的开关A来控制一盏灯。开关A在“合上”的位置时，灯不亮；开关A在“断开”的位置时，灯亮。假定：灯亮为“1”，不亮为“0”；开关“合上”为“1”，“断开”为“0”。把灯的状态和开关的位置之间的关系例表如下：2.1.1逻辑代数的基本运算3、“非”运算：就是否定、逻辑反F=AAFAF1非门（A是输入，F是输出）真值表AF01102.1.1逻辑代数的基本运算ABF真值表ABF001001111110与非门（实现“与非”逻辑）将基本的逻辑门加以组合，可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、“异或”、“同或”、等门电路。4、“与非”运算:F=AB2.1.1逻辑代数的基本运算ABF+或非门（实现“或非”逻辑）真值表ABF0010011110005、“或非”运算:F=A+B2.1.1逻辑代数的基本运算与或非门（实现“与或非”逻辑）CDY≥1AB&&6、“与或非”运算:F=AB+CD真值表ABCDF0000000100100011……11102.1.1逻辑代数的基本运算异或门（实现“异或”逻辑）7、“异或”运算:F=AB+AB=A+B真值表ABF000110110110ABF=1ABF+2.1.1逻辑代数的基本运算Y=AB=AB+AB表示式：11&&≥1ABY=AB+AB异或门的组成:用基本逻辑门组成异或门2.1.1逻辑代数的基本运算同或门（实现“同或”逻辑）8、“同或”运算:F=AB+AB=A⊙B真值表ABF000110111001ABF=1ABF⊙BAB⊙A“同或”、“异或”关系：常用的逻辑门及符号2.1.2逻辑代数的基本公式互补律：1律：0律：10AAAAAAA000111AAA交换律：结合律：分配律：ABBAABBACBACBACBACBA)()()()()()()(CABACBACABACBA2.1.2逻辑代数的基本公式吸收律：反演律：(德·摩根定律)AB)A(AABAABAB)A(ABABAA____________________________BABABABA2.1.2逻辑代数的基本公式包含律：推论：对合律：重叠律：C)AB)((AC)C)(BAB)((ACAABBCCAAB______CAABBCDCAABAAAAAAAA2.1.2逻辑代数的基本公式基本公式验证方法：真值表利用基本定理化简公式例：真值表验证摩根定律1000A＋B1110A＋B1110AB100000011011ABAB________________________BABABABA2.1.2逻辑代数的基本公式真值表利用基本定理化简公式例：证明包含律2.1.2逻辑代数的基本公式CAABBCCAAB律、互补律1)()(）（AABCBBCACCAB证明：分配律BCAABCCBABCACABABC重叠律CBABCACABABC分配律、互补律CAAB基本定理、公式应用：证明：2.1.2逻辑代数的基本公式CAABBCDCAABABABAABAAB、3))((、2、12.1.3逻辑代数的基本规则f(A1,A2,…,An)＋f(A1,A2,…,An)＝11、代入规则例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，则该等式仍然成立，即：(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C由互补率(A+A=1)，同样有等式任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。2、反演规则使用反演规则时,应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。例如：已知例如：已知根据反演规则可得:2.1.3逻辑代数的基本规则如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”,“+”变成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,原变量变成反变量，反变量变成原变量，得到的函数是原函数的反函数。F求：F))()()((CBACBACBACBAF2、反演规则例题：已知1、根据反演规则可得:求它的反函数2、根据基本公式可得:))()()((CBACBACBACBACBACBACABABCCBACBACABABCF))()()((CBACBACBACBAFCBACBACABABCF比较两种方法，应用反演规则比较方便。2.1.3逻辑代数的基本规则例题：求下列函数的反函数BCDBA、FDCABF2、12、反演规则2.1.3逻辑代数的基本规则3、对偶规则求某一函数F的对偶式时，要注意保持原函数的运算顺序不变。例:F=A+B+CF’=ABC2.1.3逻辑代数的基本规则如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”,“+”变成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F'。如果F'是F的对偶式，则F也是F'的对偶式，即F与F'互为对偶式。对偶规则：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F’和G’也相等。函数的对偶的对偶式，为函数本身。3、对偶规则例题：求下列函数的对偶式：ME)]C(DCA[AB、FMDE)C)(CAB)(（A、FACAB、FC）A（B、F43212.1.3逻辑代数的基本规则4、附加公式2.1.3逻辑代数的基本规则附加公式一：当包含变量x，的函数f和变量x相“与”时，函数f中的x均可由“1”代之，均可由“0”代之；当f和变量相“与”时，函数f中的x均可由“0”代之，均可由“1”代之。当包含变量x，的函数f和变量x相“或”时，函数f中的x均可由“0”代之，均可由“1”代之；当f和变量相“或”时，函数f中的x均可由“1”代之，均可由“0”代之。xxxxxxxx例题：若fx，zxyxzxxyf求))((xyzyzyxzxyxzxxyxfx][yx)]1)(0(01[)])(([化简函数：ABBACBCBCBCBACBACBACBACBAA]1100[][4、附加公式2.1.3逻辑代数的基本规则附加公式二：一个包含有变量x、x的函数f，可展开为x·f和x·f的逻辑或。一个包含有变量x、x的函数f，可展开为（x+f）和（x+f）的逻辑与。利用附加公式一，可以改写为：4、附加公式2.1.3逻辑代数的基本规则例题：化简函数E))(BBB）(A（ADBABDBAEABEBADBABAEDBAABE)A)(A）(（DABE)A)(A）(（DABE))(BBB）(A（ADBABBE))(BBB）(A（ADBABBE))(BBB）(A（ADBAB][][]01010[]10101[][][4、附加公式2.1.3逻辑代数的基本规则例题：化简函数))()()((EADACABAADFACEBDADD)CEABD)((AE)DCBDAE)DCBDAE)ADACABAADAE)ADACABAADAE)ADACABAADF])0)(1)(0)(1(1[(])1)(0)(1)(0(0[(]))()()(([(]))()()(([()()()((4、附加公式2.1.3逻辑代数的基本规则2.2逻辑函数的化简逻辑函数化简的目的:省器件！用最少的门实现相同的逻辑功能，每个门的输入也最少。主要掌握“与或”表达式的化简。最简“与或”表达式：1、乘积项的个数最少(用门电路实现，所用与门的个数最少)2、在满足（1）的条件下，乘积项中的变量个数最少(与门的输入端最少)最简的目标不同，达到的效果也不同。如果功耗最小或者可靠性最高是目标，化简的结果完全不同！2.2.1公式法化简逻辑函数1、合并乘积项法：ACAACBBCABBACCABCBACBAABCCBACABCBAABCCBACABCBBCAF)()()()()(分配律：结合律：互补律：互补律：例1：例2：CBACBCBACBCBAF)(反演律2、吸收项法：2.2.1公式法化简逻辑函数吸收律例3：合并乘积项异或、同或吸收律包含律结合律1律包含律例4：2、吸收项法：2.2.1公式法化简逻辑函数例5：3、配项法：利用互补律例6：2.2.1公式法化简逻辑函数例7：求对偶式，得：化简对偶式，得：求对偶式，得：4、“或与”表达式化简2.2.1公式法化简逻辑函数)()1()1()()()()()()(AADCBCADBABCDDCABDCBADCBADBABCDCDDCABABCDDCBADCBADBCDCCABDDDCBADBCDABDCBADBCDABDCBACBABDCDABDDBCDCBAABCF包含：配项：展开：合并：例8：2.2.1公式法化简逻辑函数5、综合运用公式化简BCDCDBCDCDBCDCDDBCDDCBDBCDF)()(续上页：吸收律反演律吸收律2.2.1公式法化简逻辑函数5、综