正弦定理余弦定理应用举例

1.2.正余弦定理应用举例正弦定理：2(sinsinsinabcRRABCABC为外接圆的半径）正弦定理的一些常见变形：12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）2sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3::sin:sin:sinabcABC（）4sinsin,sinsin,sinsinaBbAaCcAbCcB（）2c2bcosA222cosababC222cosacacB2a222cosbcbcA2222bcabccosB2222cabcacosC2222abcab余弦定理：角化边公式斜三角形的解法已知条件定理选用一般解法用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180˚，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理由A+B+C=180˚,求出另一角，再用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180˚得出第三角。用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180˚得出第三角。一边和两角(ASA或AAS)两边和夹角(SAS)三边(SSS)两边和其中一边的对角(SSA)解三角形时常用结论(1),,(abcbcaacb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）(2),,222ABCABCABC(3)sin()sin,cos()cossincos,cossin2222ABCABCABCABC(4)sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）(5)正弦定理和余弦定理;coscoscos)2(CcBbAaCabcos)3(等腰三角形或直角三角形等边三角形直角三角形(1)coscos;aAbB(4)sin2sincosABC等腰三角形二.判断三角形形状1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量:①距离问题、②高度问题、③角度问题、④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.2.实际问题中的常用角（1）仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线叫仰角,目标视线在水平视线叫俯角（如图①）.上方下方(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）.正北ACB51o55m75o题型一与距离有关的问题要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A、B之间的距离.分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解.【例1】3思维启迪题型分类深度剖析解如图所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得3sin7562.sin602BC2226262(3)()23cos752232335,5(km).5km.ABABAB、之间的距离为3[例2].在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°,则塔高为（）解析作出示意图如图，由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，则OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，则BD=AD·tan∠BAD=400400200200A.mB.3mC.3mD.m33332003.32003320033200tan30,3200400200.33BCCDBDA题型二与高度有关的问题变式2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=x，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD=παβ,sinsinsinsinsinsin()tansinRt,tan.sin()BCCDBDCCBDxCDBDCBCCBDxABCABBCACB由正弦定理得所以在中:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在.)3(测量角度[例3].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？分析如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.313题型三与角度有关的问题则有CD=10t，BD=10t.在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=（-1）2+22-2×（-1）×2×cos120°=6,∴BC=，即∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船.3336sin10sin1201sin,2103BDCBDtBCDCDt3解:设缉私船用th在D处追上走私船，2sin1202sin4526ABCABC由正弦定理，1.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得它在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）（A）海里/小时（B）海里/小时（C）海里/小时（D）海里/小时20(26)20(62)20(36)20(63)练习【解析】选B.由题意知∠NMS=15°+30°=45°，∠MNS=60°+45°=105°，由正弦定理得4.（2010·泰州模拟）如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30米至C处测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进米至D处，测得顶端A的仰角为4θ,则θ的值为（）（A）15°（B）10°（C）5°（D）20°103【解题提示】解答本题的关键是将θ放在某一三角形中，借助正、余弦定理确定θ的值，就本题而言，在△ACD中，三边可求，利用正弦定理可求出cos2θ的值，进而确定θ的值.【解析】选A.由条件知△ADC中，∠ACD=2θ，∠ADC=180°-4θ,AC=BC=30,AD=CD=,103二、填空题（每小题3分，共9分）6.（2010·珠海模拟）如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要_____小时到达B处.【解析】由题意，对于CB的长度，由余弦定理，得CB2=CO2+OB2-2CO·OBcos120°=100+400+200=700.∴CB=,∴甲船所需时间为小时.答案：107107730373[例4]如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.题型四正、余弦定理在平面几何中的综合应用解设∠POB=θ，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OP·OCcosθ=54cosθ.max3112sin(54cos)24532sin().34535,,2.3264532.4OPCPCDySSyOPDC当即时所以四边形面积的最大值为1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.思想方法感悟提高