小学五年级奥数讲义(学生版)30讲全

-1-五年级奥数第1讲数字迷（一）第16讲巧算24第2讲数字谜(二)第17讲位置原则第3讲定义新运算(一)第18讲最大最小第4讲定义新运算(二)第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性(一)第20讲多边形的面积第6讲数的整除性(二)第21讲用等量代换求面积第7讲奇偶性（一）第22用割补法求面积第8讲奇偶性（二）第23讲列方程解应用题第9讲奇偶性（三）第24讲行程问题（一）第10讲质数与合数第25讲行程问题（二）第11讲分解质因数第26讲行程问题（三）第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第27讲逻辑问题（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第28讲逻辑问题（二）第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一)第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二)-2-第1讲数字谜（一）例1把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。例2将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。例3在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。例4已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。例5在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。FORTYTEN+TENSIXTY例6在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。练习11.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：（1）AB(2)ABAB+BCA-ACAABCBAAC3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634。6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。-3-第2讲数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相例2在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。□□□×81□□□□□□□□□□□例3左下方的除法竖式中只有一个8，请在□内填入适当的数字，使除法竖式成立。□8□□□□)□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□0例4在□内填入适当数字，使小数除法竖式成立。例4图例5图例5一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到右上图的竖式（2），求这个五位数。练习21.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求出abcd及abcxyz(1)1abcd×3=abcd5(2)7×abcxyz=6×xyzabc2.用代数方法求解下列竖式：3.在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：□8□7□.□□□□□□□)□□□□□□□.□)□□□.□□)□.□□□□□□□□□□□□□8□□□□□□□□□□□□□□□□00□□0-4-第3讲定义新运算（一）例1对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。例2已知a△b表示a的3倍减去b的21，例如根据以上的规定，求10△6的值3，x=2，求x的值。例6对于任意自然数，定义：n！=1×2×…×n。例如4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？例7如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。求3¤（4¤6）¤12的值。练习31.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。2.已知ab表示a除以3的余数再乘以b，求134的值。3.已知ab表示（a-b）÷（a+b），试计算：（53）（106）。4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即m◇n=3m-2n。（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。7.对于任意的两个数P，Q，规定P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。8.定义：a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（4△3）△（2b）。9.已知：23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，……求（44）÷（33）的值。-5-第4讲定义新运算（二）例1已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。例2定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。（1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？例3对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。（1）求12☆21的值；（2）已知6☆x=27，求x的值。例4a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。例5对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1，g（b）=b×b。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。练习42.定义两种运算“※”和“△”如下：a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。计算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙3=0.75。试确定常数A，并计算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a表示顺时针旋转240°，b表示顺时针旋转120°，c表示不旋转。运算“∨”表示“接着做”。试以a，b，c为运算对象做运算表。6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为ab。比如73=1，529=4，420=0。（1）计算：19982000，（519）19，5（195）；（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。7.对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；（2）已知f（g（x））=8，求x的值。-6-第5讲数的整除性（一）1.整除的定义、性质.定义：如果a、b、c是整数并且b0，b=ca则称a能被b整除或者b能整除a，记做ba，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做b|a.2、性质（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。整除的数的特征1、被2整除特征：个位上是0,2,4,6,82、被5整除特征：个位上是5,03、能被3或9整除的数的特征是：各个数位的数字之和是3或9的倍数4、被4、25整除的数的特征：一个数的末2位能被4、25整除5、被8、125整除的数的特征：一个数的末3位能被8、125整除6、被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。7、能被11整除的数的特征：把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。例如：判断491678能不能被11整除。—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。8、能被13整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。如：判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。9、被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差（大数－小数）能被7、11、13整除，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。例如：判断556584能不能被7整除末三位584末三位之前的数556，584-556=2828能被7整除，所以556584能被7整除10、能被17整除的数的特征:把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。11、能被19整除的数的特征:把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程例1在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？例3有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？例4在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？例5能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？练习51.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？3.173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少4、用1—6六个数字组成一个六位数abcdef期中不同的字母代表1-6中不同的数字。要求ab能被2整除，abc能被3整除，abcd能被4整除，abcde是5的倍数，abcdef是6的倍数。这样的六位数有几个？各是多少？5.红光小学五年级二班期末数学考试平均分是90分，总分A95B,这个班有多少名学生？6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？-7-第6讲数的整除性（二）特殊的数——1001。因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。例2判断306371能否被7整除？能否被13整除？例3已知10□8971能被13整除，求□中的数。例4说明12位数abbaabbaabba一定是3、7、13的倍数。例5如果41位数55……5□99……9能被7整除，那么中间方格内的数字是几？︸︸20个20个判断一个数能否被27或37整除的方法：对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。例6判断下列各数能否被27或37整除：（1）267313