21.1-二重积分概念---数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、平面图形的面积二、二重积分的定义及其存在性三、二重积分的性质二重积分是定积分在平面上的推广,不同之处在于:定积分定义在区间上,区间的长度容易计算,而二重积分定义在平面区域上,其面积的计算要复杂得多.§1二重积分概念数学分析第二十一章重积分*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第二十一章重积分高等教育出版社我们首先定义平面图形的面积.如果存在一矩形R,设P是一平面有界图形,用平行于二坐标轴的某一组直线网T分割这个图形(图21-1),的网眼(小闭矩形)i可分为三类:(i)i上的点都是P的内点;i;iP(ii)上的点都是P的外点,即§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质平面图形的面积(iii)i上含有P的边界点.我们称平面图形P是有界的,.PR使得这时直线网T数学分析第二十一章重积分高等教育出版社将所有属于第(i)类小矩形(图21-1中紫色部分)的面积加起来,R里表示包含P的那个矩形R的面积);面积加起来(图21-1中除青色部分),(),PST()().PPsTST则有OyxP211图(),PsT则有()PRsT(这§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质将所有第(i)类与第(iii)类小矩形的记这个和数为记这个和数为数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定义1由确界存在定理可以推得,sup{()},inf{()},PPPPTTIsTIST显然有0.(1)PPIIPIPI通常称为P的内面积,为P的外面积.PIPI若平面图形P满足=,则称P为可求面积的图形,数集{()}PsT有上确界,有下确界.{()}PST§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质记对于平面上所有直线网,PPPIII作为P的面积.并把共同值数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定理20.1对任给的0,总存在直线网T,()().(2)PPSTsT证必要性设有界图形P的面积为.PI0,PIPI由及的定义知道,分别1T,2T存在直线网与使得12(),().(3)22PPPPsTISTI1T2T记T为由与这两个直线网合并所成的直线网,可证得§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质平面有界图形P可求面积的充要条件是:12()(),()().PPPPsTsTSTST.PPPIII使得由定义1,有数学分析第二十一章重积分高等教育出版社于是由(3)可得()()22PPPPsTI,STI.从而对直线网T有()().PPSTsT充分性设对任给的0,存在某直线网T,使得()().PPSTsT但()(),PPPPsTIIST§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质,PPII由的任意性,得因而平面图形P可求面积.()().PPPPIISTsT所以数学分析第二十一章重积分高等教育出版社推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它0,即对任给的存在直线网T,使得(),PST或对任给的0,平面图形P能被有限个面积总和小于的小矩形所覆盖.§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质0,PI的外面积数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是:P的边界K的面积为零.证由定理21.1,P可求面积的充要条件是:0,()().PPSTsT的存在直线网T,使得()()(),KPPSTSTsT所以也有().KST由上述推论,P的边界K的面积为零.§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质由于对任给数学分析第二十一章重积分高等教育出版社()fx[,]ab证由于在闭区间上连续,因而,0,0,当01naxxxb，1max{|1,2,,}iiixxxin()fx1[,]iixx可使在每个小区间上的振幅都成§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质上一致连续.[,]ab时,定理21.3的图象,若曲线K为定义在[,]ab上的连续函数()fx则曲线K的面积为零.所以它在.iba立数学分析第二十一章重积分高等教育出版社推论1,nniiii1i1xxba因此由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零.参量方程(),()()xtytt所表示的光滑曲线或按段光滑曲线,§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质由于这n个小矩形面积的总和即若把曲线K按01,,,nxxxx,分成n个小段则每一小段都能被以ixi为宽,为高的小矩形所覆盖.其面积一定为零.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社01,nttt1[,]iitt()xt使得在每一段上，(或)存在()yt1[,]iitt上的曲线面积为零,从而整个曲线面积为零.分成n段:[,]于是在1[,]iitt上1()tx1()),tx(或反函数1(())yx1(())).xy(或有连续的§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质所以在证由光滑曲线的定义，,均存在且不同时为零.由隐函数存在性定理,00[,],()0tt(或0()0),t0(;),()Utxt()yt因此(或)在0(;)Ut上有反函数.再由有限覆盖定理,可把区间数学分析第二十一章重积分高等教育出版社注1平面中并非所有的点集都是可求面积的.例如(,),Q[0,1].Dxyxy01,DDII易知因此D是不可求面积的.§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质推论2由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面图形都是可求面积的.注2以下讨论的有界闭区域都是指分段光滑曲线围成的有界闭区域.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社二重积分的几何背景是求曲顶柱体的体积.(,)fxy为定义在可求面积的有界闭域D上的非负连续函数.面(,)zfxy为顶,D为底的柱体(图21-2)的体积V.图21-2xyzzfxy(,)O§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质二重积分的定义及其存在性设求以曲数学分析第二十一章重积分高等教育出版社采用类似于求曲边梯形面积的方法.(1)分割:先用一组平行于坐标轴的直线网T把区域(1,2,ii,)nD分成n个小区域(称T为区域Dii以表示小区域的面积.线网也相应地把曲顶柱体分割成n个以i为底的小曲顶柱体(1,2,,).iVin(,)fxy(2)近似求和:由于在D上连续,相差无几,(,)fxyi在上各点的函数值§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质的一个分割).这个直故当每个i(,),ii上任取一点因而可在的直径都很小时,i数学分析第二十一章重积分高等教育出版社的小平顶柱体的体积(,)iiifiV作为的体积iV的近似值(如图21-3),(,).iiiiVf把这些小平顶柱体的体积加起来,就得到曲顶柱体体积V的近似值213图ii(,)xyzO§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质i为高,为底(,)iif用以即11(,).nniiiiiiVVf数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(3)取极限:当直线网T的网眼越来越细密,T的细度1||||maxiinTd(id为i的直径)趋于零时,有1(,).niiiifV这类问题在物理学与工程技术中也常遇到,均匀平面的质量、重心、转动惯量等等.所要讨论的二重积分的实际物理背景.§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质即分割就如求非这些都是数学分析第二十一章重积分高等教育出版社上面叙述的问题都可归为以下数学问题.可求面积的小区域12,,,.n以i表示小区域i的面积,这些小区域构成D的1||||maxiinTd在每个i上任取一点(,),ii作和式一个分割T,以id表示小区域i的直径,设D为xy平面上可求面积的有界闭域,(,)fxy为用任意的曲线网把D分成n个§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质定义在D上的函数.称为T的细度.(,).niiii1f称它为函数f在D上属于分割T的一个积分和.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定义2设(,)fxy是定义在可求面积的有界闭域D上的函数.,总存在某个正数,使对于D的任何分割T,当它的细度||||T时,§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质有J是一个确定的实数,若对任给的正数属于T的所有积分和都1(,),(4)niiiifJ则称(,)fxy在D上可积,数J称为函数(,)fxy在D上二重积分,(,)d,(5)DJfxy记作数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质其中(,)fxy称为二重积分的被积函数,x,y称为积分变量,D称为积分区域.就表示以(,)zfxy为曲顶,D为底的曲顶柱体的当(,)1fxy时,二重积分(,)dDfxy的值就等于积分区域D的面积.当(,)0fxy时,二重积分(,)dDfxy在几何上体积.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社注1由二重积分定义知道,若(,)fxy在区域D上可积,则与定积分情形一样,||||T时,(4)式都成立.选取一些特殊的分割方法,直线网来分割D,则每一小网眼区域的的面积§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质.xy此时通常把(,)dDfxy记作(,)dd.(6)Dfxyxy对任何分割T,只要当因此为方便计算起见,常如选用平行于坐标轴的数学分析第二十一章重积分高等教育出版社注2如定积分那样类似地可证明:可求面积的D上可积的必要条件是它在D上有界.设函数(,)fxy在D上有界,T为D的一个分割,把D分成n个可求面积的小区域12,,,.n§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质(,)(,)sup(,)(1,2,,).inf(,)iiixyixyMfxyinmfxy作和式11(),(),nniiiiiiSTMsTm它们分(,)fxy在函数别称为(,)fxy关于分割T的上和与下和.它令数学分析第二十一章重积分高等教育出版社二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样的性质,这里就不再重复.函数的可积性定理,这里只证明其中的定理21.7.§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质下面列出有关二元数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定理21.4定理21.5定理21.6定理21.7(,)fxy在D上可积的充要条件是:00lim()lim().TTSTsT(,)fxy在D上可积的充要条件是:,存在D的某个分割T,有界闭域D上的连续函数必可积.设(,)fxy是定义在有界闭域D上的有界函数,且其不连续点集E是零面积集.§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质(,)fxy在D上可积.则对于任给的正数()().STsT使得数学分析第二十一章重积分高等教育出版社0,对任意存在有限个矩形不包含证边界覆盖了\DE则是有界闭集也可能是有限多个不交的有界闭.区域的并\,DE在上连续11211,,,.nTSTsT的分割，使得L112,,,.nTKDTD，，则是的一个分割LI