中考数学试题专题-等腰三角形与勾股定理试题-4

北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站【关键词】等边三角形证明：如图1，ABC△为等边三角形60ABC°BCMNBAMG，∴90CBMBAM°9030ABMABC°-9060MABM-同理：60NGMNG△为等边三角形．在RtABM△中，23sinsin603ABaBMaM在RtBCN△中，3tantan603BCaBNaN3MNBMBNa（2）②：结论1成立．NMAGCB（图1）NMAGCBAFCEBDAFCEBD（图1）（图2）（图3）OAFCEBD（图4）OO北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站证明；方法一：如图2，连接AOBOCO、、由ABCAOBBOCAOCSSSS△△△△＝12aODOEOF作AHBC，垂足为H，则3sinsin602AHACACBaa113222ABCSBCAHaa△··113222aODOEOFaa·32ODOEOFa方法二：如图3，过点O作GHBC∥，分别交ABAC、于点GH、，过点H作HMBC⊥于点M，6060DGOBOHFC°，°AGH△是等边三角形GHAHOEBC⊥OEHM∥四边形OEMH是矩形HMOE在RtODG△中，3sinsin602ODOGDGOOGOG··AFCEBD（图2）OHAFCEBDOMHG北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站△中，3sinsin602OFOHOHFOHOH··在RtHMC△中，3sinsin602HMHCCHCHC··333222ODOEOFODHMOFOGHCOH333222GHHCACa（2）②:结论2成立．证明：方法一：如图４，过顶点ABC、、依次作边ABBCCA、、的垂线围成MNG△，由（1）得MNG△为等边三角形且3MNa过点O分别作ODMN于D,OENG于NG于点EOFMG，于点F由结论1得：33322ODOEOFMNaa又ODABABMGOFMG，，90ADODAFOFA四边形ADOF为矩形OFAD同理：ODBE，OECF32ADBECFODOEOFa方法二：（同结论1方法二的辅助线）AFCEBDOFDMGNE北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站△中，3tan3OFFHOFOHF在RtHMC△中，23sin3HMHCOEC23333CFHCFHOEOF同理：2332333333ADOFODBEODOE，ADBECF＝233233233333333OFODODOEOEOF＝3ODOEOF由结论1得：32ODOEOFa33322ADBECFaa方法三：如图5，连接OAOBOC、、，根据勾股定理得：22222BEOEOBBDOD①22222CFOFOCCEOE②22222ADODAOAFOF③①+②+③得：AFCEBD（图3）OMHGAFCEBD（图5）O北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站222222BECFADaADaBEaCF222222222aADaADaBEaBEaCFaCF整理得：223aADBECFa32ADBECFa12分20．(2009年南充)如图8，半圆的直径10AB，点C在半圆上，6BC．（1）求弦AC的长；（2）若P为AB的中点，PEAB⊥交AC于点E，求PE的长．【关键词】圆的性质，三角形相似的性质【答案】解：AB是半圆的直径，点C在半圆上，90ACB°．在RtABC△中，22221068ACABBC（2）PEAB⊥，90APE°．90ACB°，APEACB．又PAECAB，AEPABC△∽△，PEAPBCAC110268PE301584PE．19．(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线l∶y＝28x分别与x轴，y轴相交于AB，两点，点0Pk，是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作P⊙．PBCEA北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站（1）连结PA，若PAPB，试判断P⊙与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以P⊙与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？【关键词】直线与圆的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质【答案】解：（1）P⊙与x轴相切．直线28yx与x轴交于40A，，与y轴交于0B，-8，48OAOB，，由题意，8OPkPBPAk，．在RtAOP△中，222483kkk，，OP等于P⊙的半径，P⊙与x轴相切．（2）设P⊙与直线l交于CD，两点，连结PCPD，．当圆心P在线段OB上时，作PECD⊥于E．PCD△为正三角形，13333222DECDPDPE，，．90AOBPEBABOPBEAOBPEB°，，△∽△，BAOxlyPAOxly（备用图）第（1）题BAOxlyPBAOxlyCEDP1P2第（2）题北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站，即3343152245PBPB，，31531580822POBOBPP，，，31582k．当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得315082P，-，31582k，当31582k或31582k时，以P⊙与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．20．(2009年湖州)若P为ABC△所在平面上一点，且120APBBPCCPA°，则点P叫做ABC△的费马点．（1）若点P为锐角ABC△的费马点，且60ABCPAPC°，3，4，则PB的值为________；（2）如图，在锐角ABC△外侧作等边ACB△′连结BB′．求证：BB′过ABC△的费马点P，且BB′＝PAPBPC．【关键词】阅读理解题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合题【答案】（1）23．（2）证明：在BB上取点P，使120BPC°，ACBPEBACBB北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站，再在PB上截取PEPC，连结CE．120BPC°，60EPC°，PCE△为正三角形，60PCCEPCECEB，°，＝120°，ACB△为正三角形，ACBCACB，＝60°，PCAACEACEECB＝60°，PCAECB′，ACPB△≌△CE．APCB120CEPAEB°，，120APBAPCBPC°，P为ABC△的费马点，BB过ABC△的费马点P，且BB＝EB+PBPEPAPBPC．21．(2009年温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE．’(1)当BD＝3时，求线段DE的长；(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定【答案】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵DB为直径，∴∠DEB＝∠C＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC∴ABBDACDE即533DE∴DE＝59。（2）解法一：连结OE，∵EF为半圆O的切线，∴∠DEO+∠DEF＝90°，∵∠AEF+∠DEF＝90°，∴∠AEF＝∠DEO，∵△DBE∽△ABC，∴∠A＝∠EDB，又∵∠EDO＝∠DEO，北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站∴∠AEF＝∠A，∴△FAE是等腰三角形。解法二：连结OE，∵EF为半圆O的切线，∴∠AEF+∠OEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OE＝OB∴∠OEB＝∠B，∴∠AEF＝∠A∴△FAE是等腰三角形。22．（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45方向上．（1）求出A，B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．【关键词】等腰直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图【答案】解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得45AB°．ACO△和BDO△都是等腰直角三角形．2AO，22BO．AB，两村的距离为22232ABAOBO（km）．方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E．易证四边形CDBE是矩形，2CEBD．在RtAEB△中，由45A°，可得3BEEA．223332AB（km）AB，两村的距离为32km．北东BACDl北京中考网—北达教育旗下北京中考网—北达教育旗下门户网站（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点AB，为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于两点MN，，作直线MN；②直线MN交l于点P，点P即为所求．1．（2009年中山）如图所示，ABC△是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CECD，（1）用尺规作图的方法，过D点作DMBE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BMEM．【关键词】等腰三角形，等边三角形【答案】解：（1）作图见下图，（2）ABC△是等边三角形，D是AC的中点，BD平分ABC（三线合一），2ABCDBE．CECD，CEDCDE．又ACBCEDCDE，2ACBE