高考数学热点讲座3、解三角形问题常见类型及解法

讲座3、解三角形问题常见类型及解法已知三角形的六个元素（三边和三角）中的三个元素（至少有一边）求其他元素的问题叫做解三角形。若三角形为直角三角形，则直接利用勾股定理解答即可；若为斜三角形问题，正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。对于解斜三角形的实际应用问题时，首先要理解题意，分清已知与所求，然后再根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，明确先用哪个公式定理，先求出哪些量，最后确定解三角形的方法。在演算过程中要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求。对于实际应用问题中的有关名词、术语要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、视角、方向角、方位角等。一、求解斜三角形中的基本元素【理论阐释】已知两边一角(或二角一边或三边)，求其他三个元素的问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题。在ΔABC中，已知466AB,cosB36，AC边上的中线BD=5，求sinA的值．【解析】设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且126DEAB23，设BE＝x,在ΔBDE中利用余弦定理可得：222BDBEED2BEEDcosBED，282665x2x336，解得x1，7x3（舍去）奎屯王新敞新疆故BC=2，从而222282cos3ACABBCABBCB，即221AC3奎屯王新敞新疆又30sinB6，故22123sin306A，从而有70sinA14。典例导悟二、判断三角形的形状【理论阐释】给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状，通常有两种典型方法：（1）统一化为角，再判断；（2）统一化为边，再判断。（2010·上海高考文科·Ｔ１8）.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC（）（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.【解析】选C，由正弦定理可得13:11:5::cba，设ta5，则tb11，tc13，由余弦定理得110231152)13()11()5(2cos222222tttttabcbaC，所以C为钝角．典例导悟三、解决与面积有关的问题【理论阐释】主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题。典例导悟在ABC△中，三内角ABC，，的对边分别为abc，，，已知2c，3C．（1）若ABC△的面积等于3，求ab，；（2）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC△的面积．【解析】（1）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC△的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab．联立方程组224,4ababab解得2.2ab典例导悟（2）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA，当cos0A时，2A，6B，433a，233b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，，解得233.433ab所以ABC△的面积123sin23SabC。四、三角形中的求值问题【理论阐释】已知三角形三边外的元素如中线长、面积、周长等，灵活逆用公式求得结果即可。典例导悟典例导悟（2010·安徽高考文科·Ｔ16）ABC的面积是30，内角,,ABC所对边长分别为,,abc，12cos13A。(1)求ABAC；(2)若1cb，求a的值。【解析】由12cos13A且A为三角形内角，得2125sin1()1313A.又ABCS=1sin302bcA，∴156bc，（1）12cos15614413ABACbcA；（2）2222cosabcbcA212()2(1cos)12156(1)2513cbbcA，∴5a。典例导悟五、解三角形的实际应用【理论阐释】有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，合理运用正弦定理和余弦定理求解。（一）测量问题如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.典例导悟【解析】在△BCD中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得:BCCD=sin∠BDCsin∠CBD,所以sinBC=sin(+)sβαβCDsin∠BDC=sin∠CBD.在Rt△ABC中，AB=BC·tan∠ACBtansinsin(+)sθβαβ=.（二）遇险问题如图，已知海中一小岛A周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续往南航行，有无触礁的危险？【解析】船继续向南航行，有无触礁的可能取决于A到直线BC的距离是否大于38海里。于是我们只要先算出AC（或AB）的大小，再算出A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即可得到答案。在△ABC中，BC30，B30，ACB135，∴A15，由正弦定理知：BCACsinAsinB，即30ACsin15sin30∴30sin3060cos1515(62)sin15AC∴A到BC所在直线的距离为：ACsin4515(31)40.98（海里）它大于38海里，因此船不改变航向，继续往南航行，没有触礁的危险。（三）追及问题（2010·福建高考理科·Ｔ19）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】(Ⅰ)为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT，小艇到达T位置时轮船的航行位移,0ATs即31,1030tt，310vt，从而330310tv（海里/小时）；(Ⅱ)若轮船与小艇在H处相遇时，在直角三角形OHT中运用勾股定理有：0400600)900(22ttv，等价于9641060040090022ttvOABTGH从而)3(30427)43(410949)16923(41022v所以当30v时，23，32t也就是说，当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东30方向行走能以最短的时间遇到轮船。