大学物理授课教案 第九章 稳恒电流的磁场

第九章稳恒电流的磁场沈阳工业大学郭连权（教授）1第九章稳恒电流的磁场稳恒电流：导体中电流不随时间变化（也叫直流电）。§9-1基本磁现象安培假说人们对磁现象的研究是很早的，而且开始时是与电现象分开研究的。发现电、磁现象之间存在着相互联系的事实，首先应归功于丹麦物理学家奥斯特。他在实验中发现，通有电流的导线（也叫载流导线）附近的磁针，会受力而偏转。1820年7月21日，他在题为《电流对磁针作用的实验》小册子里，宣布了这个发现。这个事实表明电流对磁铁有作用力，电流和磁铁一样，也产生磁现象。1820年8月，奥斯特又发表了第二篇论文，他指出：放在马蹄形磁铁两极间的载流导线也会受力而运动。这个实验说明了磁铁对运动的电荷有作用力。1820年9月，法国人安培报告了通有电流的直导线间有相互作用的发现，并在1820年底从数字上给出了两平行导线相互作用力公式。这说明了二者的作用是通过它们产生的磁现象进行的。综上可知，电流是一切磁现象的根源。为了说明物质的磁性，1822年安培提出了有关物质磁性的本性的假说，他认为一切磁现象的根源是电流，即电荷的运动，任何物体的分子中都存在着回路电流，成为分子电流。分子电流相当于基元磁铁，由此产生磁效应。安培假说与现代物质的电结构理论是符合的，分子中的电子除绕原子核运动外，电子本身还有自旋运动，分子中电子的这些运动相当于回路电流，即分子电流。磁场的应用十分广泛。如：电子射线、回旋加速器、质谱仪、真空开关等都利用了磁场。§9-2磁场磁感应强度磁力线磁通量一、磁场1、磁场：运动电荷或电流周围也有一种场，称为磁场。第九章稳恒电流的磁场沈阳工业大学郭连权（教授）22、磁场的主要表现（1）力的表现：磁场对运动电荷或载流导体有作用力。（2）功的表现：磁场对载流导体能做功。3、实验表明：磁场与电场一样，既有强弱，又有方向。二、磁感应强度为了描述磁场的性质，如同在描述电场性质时引进电场强度时一样，也引进一个描述磁场性质的物理量。下面从磁场对运动电荷的作用力角度来定义磁感应强度。设E、V、F为电荷电量、速度、受磁场力。实验结果为：1、qF，VF；2、F与V同磁场方向夹角有关，当V与磁场平行时，F=0；当V与磁场垂直时，maxFF。如V、磁场方向在x、y轴上，则maxF在z轴上。可知，qVFmax，可写成：BqVFmax。可知：B是与电荷无关而仅与O点有关即磁场性质有关的量。定义：B为磁感应强度，大小：qVFBmax，方向：沿VFmax方向（规定为沿磁场方向）。说明：（1）B是描绘磁场性质的物理量，它与电场中的E地位相当。（2）B的定义方法较多，如：也可以从线圈磁力矩角度定义等。（3）SI制中，B单位为T（特斯拉）。三、磁力线在描述电场时，引进了电力线这一辅助概念，在描述磁场中，我们也可以引进磁力线这一辅助概念。1、B：方向，某点磁力线切向方向为B的方向。大小，规定某处磁力线密度=B。设P点面元sd与B垂直，md为sd上通过的磁力线数，则磁力线密度dsdm，即有：Bdsdm，第九章稳恒电流的磁场沈阳工业大学郭连权（教授）3可知：B大处磁力线密；B小处磁力线疏。2、磁力线性质（1）磁力线是闭合的。这与静电场情况是截然不同的。磁场为涡旋场。（2）磁力线不能相交，因为各个场点B的方向唯一。四、磁通量定义：通过某一面的电力线数称为通过该面的磁通量，用m表示。1、B均匀情况(1)平面S与B垂直，如图所示，可知（根据磁力线密度定义）BSm（9-1）（2）平面S与B夹角，如图所示，可知：)nSS(SBcosBSBSm2、B任意情况如图所示，在S上取面元ds，ds可看成平面，ds上B可视为均匀，n为sd法向向量，通过ds的磁通量为sdBm，通过S上磁通量为sdBdsmm（9-2）对于闭合曲面，因为磁力线是闭合的，所以穿入闭合面和穿出闭合面的磁力线条数相等，故0m，即0sdBs（9-3）此式是表示磁场重要特性的公式，称为磁场中高斯定理。在这里，此定理只当做实验结果来接受，但是可以从磁场的基本定律和场的迭加原理严格证明。磁通量单位：SI制中为Wb（韦伯）。§9-3毕奥——沙伐尔定律我们曾经讲过，求带电体场强时，把带电体看成是由许多电荷元组成，写出电荷元的场强表达式之后，然后用迭加法求整个带电体的场强。求载流导线的磁感应强度的方法与此类似，把载流导线看作是由许多电流元组成的，如果已知电流元产生的磁感应强第九章稳恒电流的磁场沈阳工业大学郭连权（教授）4度，用迭加法（实验表明迭加法成立），便可求出整个线电流的磁感应强度。电流元的磁感应强度由毕奥——沙伐尔定律给出，这条定律是拉普拉斯把毕奥、沙伐尔等人的实验资料加以分析和总结得出的，故亦称毕奥——沙伐尔——拉普拉斯定律。其内容如下：一、电流元电流元的磁场假设在导线上沿电流方向取ld，这个线元很短，可看作直线，又设导线中电流为I，则lId称为电流元，如下图所示，lId在P点产生的磁感应强度为Bd：Bd大小：与lId成正比，与ld与r（从电Bd流元到P点的矢量）的夹角正弦成正比，Bd与r大小的平方成反比，即2sinrIdldB，可写成2sinrIdlKdB。K与磁介质和单位制选取有关。对于真空和国际单位制，40K，其中270/104AN（称为真空磁导率），2sin4rIdldBo，Bd方向：沿rlId方向。304rrlIdBd（矢量式）（9-4）此式是毕奥——沙伐尔定律的数学表达式。说明：（1）毕奥——沙伐尔定律是一条实验定律。（2）lId是矢量，方向沿电流流向。（3）在电流元延长线上0Bd。（4）实验表明：迭加原理对磁感应强度也适用。整个导线在P点产生的B为304rrlIdBdBl（9-5）二、磁场计算例9-1：设有一段直载流导线，电流强度为I，P点距导线为a，求P点B=？解：如图所示，在AB上距O点为l处取电流元lId，lId在P点产生的Bd的大小为20sin4rIdldB，第九章稳恒电流的磁场沈阳工业大学郭连权（教授）5Bd方向垂直指向纸面（rlId方向）。同样可知，AB上所有电流元在P点产生的Bd方向均相同，所以P点B的大小即等于下面的代数积分20sin4rIdldBBAB，统一变量，由图知sniaar)sin(，actgactgl)(dadadadl222sincsc)csc(2121sin4sinsinsin402220daIadaIB)cos(cos4210aI，B垂直指向纸面。讨论：（1）AB时，01，2，aIB20。（2）对无限长（A在O处），21，2，aIB40。强调：（1）210coscos4aIB要记住，做题时关键找出a、1、2。（2）1、2是电流方向与P点用A、B连线间夹角。例9-2：如图所示，长直导线折成120角，电流强度为I，A在一段直导线的延长线上，C为120角的平分线上一点，AO=CO=r，求A、C处B。解：任一点B是由PO段和OQ段产生的磁感应强度1B、2B的迭加，即21BBB，A处AB？A在OQ延长线上，02B。即1BBAAB：垂直指向纸面AB大小：)cos(cos42101aIBBA，在此12002360sin21夹角与夹角与OAOPPOPAra，第九章稳恒电流的磁场沈阳工业大学郭连权（教授）6rIrIBA000043)120cos0(cos32。（2）C点的cB=？21BBBc由题知，21BB（大小和方向均相同）有22BBccB方向垂直纸面向外，cB大小为：)cos(cos4222101aIBBc在此12002360sin21夹角与夹角与OCOPPOPCrrarIrrIBC0023432。例9-3：如图所示，一宽为a的薄金属板，其电流强度为I并均匀分布。试求在板平面内距板一边为b的P点的B。解：取P为原点，x轴过平板所在平面且与板边垂直，在x处取窄条，视为无限长载流导线，它在点产生Bd的方向为：垂直纸面向外，大小为xdxaIxdIdB2200（均匀分布）所有这样窄条在P点的Bd方向均相同，所以求B的大小可用下面代数积分进行：aabaIaxIdxdBBbabln2200。强调：（1）无限长载流导线产生磁场aIB20。（2）迭加方法要明确。例9-4：如图所示，半径为R的载流圆线圈，电流为I，求轴线上任一点P的磁感应强度B。解：取x轴为线圈轴线，O在线圈中心，电流元lId在P点产生的Bd大小为)2(4sin42020rIdlrIdldB第九章稳恒电流的磁场沈阳工业大学郭连权（教授）7设ld纸面，则Bd在纸面内。Bd分成平行x轴分量//Bd与垂直x轴分量Bd。在与lId在同一直径上的电流元'lId在P点产生的//'Bd、'Bd，由对称性可知，'Bd与Bd相抵消，可见，线圈在P点产生垂直x轴的分量由于两两抵消而为零，故只有平行x轴分量。0B，23)(2244sin4cos4cos222030202020202020//RxIRRrIRrRrdlIrdlIrIdldBBBRRRB的方向沿x轴正向。讨论：（1）x=0处，20IB。（2）xR，3202IRB。（3）线圈左侧轴线上任一点B方向仍向右。强调：N匝线圈：2322202RxNIRB。例9-5：载流螺线管的磁场。已知导线中电流为I，螺线管单位长度上有n匝线圈，并且线圈密绕，求螺线管轴线上任一点的B。解：如图所示，螺线管的纵剖图。此剖面图设在纸面内。在距P点为x处取长为dx，dx上含线圈为ndx。因为螺线管上线圈饶得很密，所以，dx段相当于一个圆电流，电流强度为Indx。因此宽为dx的圆线圈产生的Bd大小为：2323)(2)(222202220xRIndxRxRdIRdB。所有线圈在P点产生的Bd均向右，所以P点B为ABABRxdxInRRxdxInRdBB2121)(2)(222202220，dRdxRctgx2csc，第九章稳恒电流的磁场沈阳工业大学郭连权（教授）8)cos(cos2sin12csccsc2120220332202121IndRInRRdRInRB。讨论：螺线管无限长时，1，02，constInB0。半无限长：如B在无穷远处，A轴线上的一点有21，02，nIB021。例9-6：如图所示，在纸面上有一闭合回路，它由半径为1R、2R的半圆及在直径上的二直线段组成，电流为I。求c圆心O处0B＝？(2)若小半圆绕AB转180，此时O处0'B＝？解：由磁场的迭加性知，任一点B是由二半圆及直线段部分在该点产生的磁感应强度矢量和。此题中，因为O在直线段沿长线上，故直线段在O处不产生磁场。(1)0B＝？小线圈在O处产生的磁场大小为：100221RIB小（每长度相等的圆弧在O处产生的磁场大小相同）；方向：垂直纸面向外。大线圈在O处产生的磁场大小为：200221RIB大；方向：垂直纸面向里。]11[4210000RRIBBB大小方向：垂直纸面向外。(2)0'B,可知大大小小0'0