中科院量子力学超详细笔记 第六章 对称性分析和应用

134第六章对称性分析和应用§6.1一般叙述1，对称性的含义对称性含义有广义和狭义两种：广义来说，Einstein说，“自然界昀不可理解的就是它竟然是可以理解的！”追求和理解自然界昀深层次的对称性一直是物理学发展的主旋律之一。常常是对某种基本对称性的信念，激励人们去发展物理学。Weyl说：“对称性是这样一种意念，人们长年累月地试图以它去理解并创造秩序、美和完善。”狭义来说，给定系统的某种对称性是指某种不可分辨性，是对某种属性的不可观测。这就是说，在某种操作或变换下系统依然保持不变，表现为系统的Hamiltonian在这些变换下保持不变。一般说，不同体系所具有的对称性不一定相同。但是，所有使体系全部物理性质保持不变的对称变换，必定构成此体系的一个对称群。研究对称性的意义：第一，构造发展理论。按Heisenberg的观点，“必须寻找的是基本对称性”。第二，增强物理直觉，利于迅速抓住问题要点，化简提法。第三，简化一些计算。不经求解dingeroSchr&&方程即可得到态及本征值的某些知识。包括能级特征、矩阵元计算、禁戒规则等。2,量子力学中的对称性135无论就对称性的种类和程度来说，QM的对称性都高于CM中的对称性。CM中存在的对称性QM中也都对应存在，如时间、空间的均匀、各向同性对称性；而且，QM还存在一些CM中所没有的对称性，如全同性原理、同位旋对称性。然而，个别对称性除外，弱等效原理这种对称性在CM中存在，但在QM中被破坏，只当向经典过渡时才又逐渐显现出来。这是说，弱等效原理被量子涨落所破坏。QM中常见的对称性有一些是普遍存在的基本对称性，有一些则是特殊系统才具有的特殊对称性。从另一角度来说，有一些是严格成立的对称性，有一些则是近似成立的对称性。QM中的时间均匀性、空间均匀性、空间各向同性、同类粒子的全同性原理（或交换对称性）是普适的、严格成立的基本对称性；而空间反射不变性、时间反演不变性对大部分情况都严格成立，可算是基本对称性，但毕竟不是普适的。同位旋对称性，这是一个适用范围很广的近似对称性。此外，还有各种特殊体系的各种特殊转动、反射对称性，它们属于这些体系的特殊对称性。比如中心场问题的空间旋转对称性、谐振子的空间反演不变性、各类晶体的各种特殊空间转动和反射对称性等等，这些都属于这些特殊体系的特殊对称性。按通常说法，上面这些对称性及其相应的变换划分为两类：136第一，根据相应变换是连续还是分立的来分类。比如，空间反射变换、时间反演变换、全同粒子置换、晶体的对称变换等等均属于分立变换，其余的属于连续变换。第二，按照对称性涉及的是体系的内禀属性还是外在属性来分类。空间平移、时间平移、空间旋转这三个对称性是体系所处的时空性质对体系运动方式提出的要求。即时空特性对孤立体系哈密顿量的要求。严格说，由此得出的对称性并不是系统的内在属性，而是时空固有属性在体系运动行为上的体现（参见下节叙述）。与此相反，全同粒子置换对称性和同位旋空间旋转对称性等，是体系的内部对称性，反映体系的内禀属性。而空间反射、时间反演对称性，也根源于体系内部的动力学性质，也应当认为反映了体系的内禀属性。3,对称性与守恒律及守恒量上面已触及了对称性和守恒律的关系问题，现在简要研究它。一个体系的对称变换U，既然使体系的全部物理性质保持不变，当然也使该体系的Hamiltonian保持不变，HUHU=−1(6.1）于是由Wigner定理断定，U一定是个幺正变换或反幺正变换1。首先，假定对称变换U是连续的。由于不存在连续的反幺正变换，只须研究幺正的情况。以前说过，一个连续变化的幺正变换U总可以表示为21反过来不能说：一个幺正变换一定是体系的对称变换。因为许多幺正变换会改变体系的Hamiltonian形式。比如，空间转动总是幺正变换，但却只有几种特殊转动，才使离子立方晶体NaCl的Hamiltonian137Ω−=αieU（6.2）这里Ω为厄米算符，α为连续变化的实参数。由（6.1）式得[]0,=UH或写为[]∑∞==Ω−00,!)(nnnHniα由于α可取连续值，取α足够小，即得[]0,=ΩH（6.3）于是得到结论：如果连续变换U是量子体系的对称变换，则U的生成元（厄密算子Ω）是个守恒量。或者说，当量子体系存在一种（连续变化的）对称性，就相应地存在一个守恒律和守恒量。其次，假定对称变换U是分立的。这时幺正和反幺正的情况都存在，它们都应当和体系的Hamiltonian对易，即存在[]0,=UH(6.1b)在量子力学范围内，这包括幺正的空间反射变换和反幺正的时间反演变换两种。其中，空间反射变换U又是厄密的，于是它直接就是守恒的力学量——宇称。但对于时间反演变换，由于它的反线性的性质而不存在相应的守恒量（参见附录一）。总之，一般说来，当体系存在某种对称性时，体系必定相应具有某种有规律、有秩序的东西，但并非总是一个守恒的力学量。§6.2时空对称性及其应用量保持不变，它们属于NaCl晶体的对称变换。2下面只讨论幺正变换。反幺正变换参见附录一。1381,时间均匀和能量守恒定律时间流逝本身是均匀的。这就是说，除非遭到含时外场的破坏，并不存在与众不同的绝对的时间标架。因此，和CM情况相似，一个孤立的没有任何外界参照物的量子体系的Hamiltonian中不能显含时间参量。否则就可以观测体系的绝对的时间坐标，这违背时间轴的均匀性质。由此，设想沿着时间轴来平移这个体系，将不会造成任何物理上可察觉的变化。这当然也就意味着，孤立量子体系在演化中的绝对相因子（常称作整体相因子或外部相因子）是不可以观测的。关于时间平移算符。时间平移算符)(τU是这样一种关于体系演化时间的变换算符，是于设想中将体系的描述，在时间轴上向未来方向平移τ的操作。即把体系在任一时刻0tt=发生的事件于设想中推迟到τ+=0tt时刻发生。于是，()()()τψψτ−→ttU:；)()()(ττ−Ψ=ΨttU（6.4）这里τ−t是因为，在变换前的t时刻体系处于)t(Ψ；在变换后到τ+=′tt时刻体系才处于)t(Ψ。如果H不显含t，可以求得)(τU的紧凑表达式。按dingeroSchr&&方程)()(tiHtdtdΨ=Ψh于是)()()()(22tiHtdtdiHtiHdtdtdtdΨ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Ψ=Ψ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Ψ⎟⎠⎞⎜⎝⎛hhh或一般地有139)()(tiHtdtdnnΨ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Ψ⎟⎠⎞⎜⎝⎛h所以()()()()()∑∑∞=∞=+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=00!!1nnnnnHittdtdntHinteτψψτψτψτhh即()()τψψτ−=tteHih（6.5）于是，这种保持时间标架不变而将体系沿时间轴平移τ的算符或幺正变换（这称为主动方式，而不是被动方式——体系不动而将时间轴反方向平移）的表达式为hττHieU=)(（6.6）按)(τU的定义，它推迟时间演化，因而和时间演化算符是反方向的。显然)(τU也是一个幺正变换，不改变体系的一切可观察物理效应。在这个变换下，态和算符的变化分别为量子态的变化：())()()()()(τψψτψψτ−==→ttUtt(6.7a)力学量算符的变化:()1)()(−Ω=Ω→ΩτττUU(6.7b)于是，对任给的两个态矢(t)ϕ，ψ(t)和任一力学量算符Ω，总有()()()())t()t()t()(U)(U)t()t()t(ttψϕψττϕτψτϕψϕττ=⋅=−−≡−1(6.8a)()()()()())()()()()()()()(111tttUUUUttUUtttψϕψϕτψτττϕψϕτττΩ=Ω=−Ω−=Ω−−−(6.8b)即，()τU变换前后所有几率幅和矩阵元都不变。这就表达了本节一开始的思想：如果H不显含时间t，体系应当时间平移不变。或者说,140这时采用时间轴上任意不同点作为计算时间的起点，不会产生物理上可觉察的差异。显然，对于孤立体系，情况本就应当如此。上面叙述可以换一种形式。对一个体系的任意两个态矢ϕ和ψ，总有ψϕψϕψϕψϕdtdHtHHdtdHdtd⋅+∂∂+⋅=ψϕψϕψϕHiHtHHHihh11⋅+∂∂+⋅−=(6.9)ψϕtH∂∂=根据第一章的微商算符定义，有ψϕψϕdtdHHdtd≡，再考虑到ϕ,ψ的任意性，就得到tHdtdH∂∂=。现在，由于孤立系的H不显含t，0=∂∂tH。于是即得结论：对H不显含t的量子体系，总有0=dtdH(6.10)体系的HamiltonianH——现为时间平移算符的生成元是个守恒量。这意味着在体系的任何态中：第一，H的平均值不随时间变化；第二，H取各个本征值的概率分布不随时间变化。证明：将任一给定的初态()0,rvψ和相应的含时态()t,rvψ按H本征态{nertiEnn∀−,)(hrψ}展开：hrrtiEnnnnnnnebtrbr−∑∑==ψψψψ),(,)0,(。这里，系数nb是()0,rvψ的展开系数，当然与t无关。于是得到nnntEEinmnnm*mEbeHbbHnm2∑∑==−hψψψψ141这说明，测量此体系任意态t),rψ(v中的能量，所得本征值nE的概率分布2nb不随时间变化——只取决于初始时刻的分布。如果初态就是体系某个能量本征态，以后将一直如此不变。这就是常说的孤立体系的能量守恒定律的两点具体含意。注意，这里孤立体系能量守恒的两点内容并未要求体系在任何态中都必定有客观确定的本征值。一般说，即便是一个孤立的量子体系，也有可能处在含时态上——即某些能量本征态的叠加态上。这是由于：给定初态并非是体系Hamiltonian的本征态这种局面造成的。比如自由飞行中子就会发生衰变。但对于H不含时体系，不论其处在何种状态上，能量平均值及本征值的取值分布均保持不变。2,空间均匀性和动量守恒定律以类似方式也可以得到当空间坐标系不动，而将体系平移有限距离ar的变换，即空间平移幺正算符)(aUr。按)(aUv定义，对任意态矢应有())t,ar()t,r()a(U)tr(arrrrr−==ψψϕ(6.11)这里右边态矢里arvv−中的负号可以这样理解：设体系为一团概率云，（6.11）式左方为对变换之后云团的描述，它在rv处的值()()travϕ应当是变换之前的云团在arvr−处的值()t,arvv−ψ。这正说明这一团概率云移动了ar距离。于是())t,r()xa(!n)t,ar()tr()a(U)tr(niiinarrrrrrvψψψϕ∂∂−=−==∑∑=∞=3101142)()exp()()exp(trpaitrarrrhrrψψ⋅−=∇⋅−=所以，使体系空间平移ar的算符为paieaUrrhr⋅−=)((6.12a)按上面所说，如果体系具有空间平移不变性（孤立系必定如此），这个幺正变换将是体系的对称变换，它的的生成元——动量算符pr就是个守恒量，即体系的动量守恒。对于多粒子体系，将rv替换为irv，()n,,,iL21=，简单推广这里的推导，可得将体系作空间平移ar的算符为()∑==⋅−niipaieaU1vvhv(6.12b)如果这个多粒子体系可以看作孤立系，它就具有空间平移不变性，于是体系的总动量∑==niipP1vv将是个守恒量。举一个CM分析的例子，由它可以引出牛顿第三定律，同时也表明，经典分析和量子分析具有同一时空特性的根源。由于()()2121,rrVrrVvvvv−→按力的表达式，作用在第i个粒子上的作用力为VFVF2211;−∇=−∇=vv按照V的这种形式，就得到21FFvv−=这就是牛顿第三定律。由于dtpdFiivv=，第三定律其实就是两粒子孤立体系总动量守恒的换一种说法143这说明，与这里量子力学分析一样，第一定律和第三定律也是根源于宏观粒子所处时空的均匀性，而经典分析所导致的总动量守恒的结论和量子力学的结论也一般无二。QM所不兼容的只是牛顿第二定律以及质点概念（相应还有轨道概念）。但为了描述方便，QM和后继课程更常用的是势的概念，而不是力的概念。和前面能量守恒情况类似，说动量守恒，并不等于体系一定得处在动量的本征态上，要看初条件如何而定。比如，自由运动波包动量是个守恒量，波包的初条件