高考数学复习全套课件 第二章 第三节 函数的单调性与最值

1.了解函数单调性的概念.2.掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能运用函数的单调性解决一些问题.3.理解函数最值的定义，会求某些函数的最值.1.函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，①若，则f(x)在这个区间上是增函数.②若，则f(x)在这个区间上是减函数.f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，该区间叫做f(x)的单调区间.[思考探究1]如图所示函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)吗？提示：不是，其单调增区间为(－∞，0]和(0，＋∞)2.函数的最值思考探究2]函数的最值与值域有何关系？是否任何一个函数都存在最值？提示：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素，任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在.1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.y＝－x＋1B.y＝C.y＝x2－4x＋5D.y＝解析：∵函数y＝的单调增区间为[0，＋∞)∴函数y＝在(0,2)上为增函数.答案：B2.函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A.k＞B.k＜C.k＞－D.k＜－2.函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A.k＞B.k＜C.k＞－D.k＜－答案：D解析：∵函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，∴2k＋1＜0∴k＜－.3.若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析：∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0，∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－＜0，∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)是减函数.答案：B4.如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的有.①＞0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0；③f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)；④＞0.解析：∵f(x)在[a，b]上为增函数.∴x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同.∴①②④均正确.又∵不知道x1，x2的大小，∴无法比较f(x1)与f(x2)的大小，故③错误.答案：①②④5.已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是.解析：①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上为减函数；②当a0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝必在x＝3的右边，即≥3，故0a≤；③当a0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数.综合知：a的取值范围是[0，].答案：[0，]1.用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论.(4)判断：根据定义得出结论.2.(1)若f(x)与g(x)在定义域内均是增函数(减函数)，那么f(x)＋g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数).(2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同则增，异则减”.讨论函数f(x)＝(a＞0)的单调性.[思路点拨][课堂笔记]∵f(x)＝∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}.法一：(定义法)任取x1，x2∈R，且x1，x2均不为1，x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝①设x1＜x2＜1，x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，a＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).②设1＜x1＜x2，x2－1＞0，x1－1＞0，x2－x1＞0，a＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).∴函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.法二：(导数法)∵f′(x)＝又∵a＞0，∴f′(x)＜0在(－∞，1)∪(1，＋∞)上恒成立，即函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.法三：(图象法)由f(x)＝a＋可知其图象对称中心是(1，a)，x＝1，y＝a是它的两条渐近线，故其图象如图所示，∴f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.讨论函数f(x)＝(a≠0，－1＜x＜1)的单调性.解：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝∵－1＜x1＜x2＜1，∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，X－1＜0，x－1＜0，|x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.∴＞0.因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为增函数.1.求函数的单调区间(1)利用已知函数的单调性.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间.2.求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤(1)确定定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”.求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x2－4|x|＋3；(2)f(x)＝[思路点拨][课堂笔记](1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝于是可得函数f(x)＝x2－4|x|＋3的图象，如图所示.由图可知，函数的增区间为[－2,0)，(2，＋∞)，减区间为(－∞，－2)，[0,2).(2)∵y＝∴该函数的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞).又∵y＝可看作是由y＝与u＝x2－1两个函数复合而成的，且y＝在u∈[0，＋∞)上为增函数，而u＝x2－1在(－∞，－1]上为减函数且u≥0，在[1，＋∞)上为增函数且u≥0.∴当x∈(－∞，－1]时，y＝为减函数，当x∈[1，＋∞)时，y＝为增函数.求函数最值的常用方法(1)配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；(2)判别式法：主要适用于可化为系数含有y的二次方程的函数.由Δ≥0且二次项系数不为0求出最值，求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x值；(3)不等式法：利用均值不等式求最值，要注意等号成立的条件；(4)换元法：主要有三角代换、复数代换、整体代换等.用换元法时，一定要注意新变量的取值范围.(5)单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据单调性确定函数的最值；(6)导数法：先利用导数求出函数在所给区间上的极值，然后求出区间端点处的函数值，最后通过比较端点处的函数值以及极值的大小求最值.[特别警示]求函数最值的方法与求函数值域的方法基本相同.当一个函数存在最值时，若求得它的值域是一个闭合区间，则可以取得的区间端点值就是函数的最值；当求得的值域不是一个区间时，可以通过比较大小，找出其中的最大值或最小值作为函数的最值.已知函数y＝求：(1)当x∈(0，＋∞)时，函数的最大值；(2)当x∈[2，＋∞)时，函数的最大值.[思路点拨]化简解析式，确定函数的定义域，利用基本不等式或函数的单调性求解.[课堂笔记]把y＝变形为y＝(1)当x∈(0，＋∞)时，由于x＋≥2(当且仅当x＝1时，取“＝”)，∴y≤40(当且仅当x＝1时，取“＝”)，即y的最大值是40.(2)当x∈[2，＋∞)时，x＋是x的增函数，∴当x＝2时，x＋取得最小值,因此，当x＝2时，y＝取得最大值32.高考对函数单调性的考查方式灵活，既有函数单调性的判定、单调区间的求法，又有利用函数单调性解不等式、比较大小、求最值等.09年湖南高考以新定义的形式考查了函数的单调性，使函数单调性的考查方式显得新颖、灵活，是一个新的考查方向.[考题印证](2009·湖南高考)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义.对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为()A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.(－∞，－1)D.(1，＋∞)【解析】由f(x)＝2－|x|≤得x≥1或x≤－1，∴f(x)＝则单调增区间为(－∞，－1).【答案】C[自主体验]已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)f()的x取值范围是()A.B.C.D.解析：f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f(2x－1)f()⇔|2x－1|⇔x答案：A1.下列函数中，为增函数的是()A.f(x)＝(x0)B.f(x)＝C.f(x)＝－x＋D.f(x)＝x2－6x＋9(x≥3)答案：D解析：由复合函数的单调性知f(x)＝(x0)是减函数，f(x)＝是减函数，f(x)＝－x＋是减函数，而D中，f(x)＝(x－3)2(x≥3)，f(x)是增函数.2.已知f(x)为R上的减函数，则满足f()＞f(1)的实数x的取值范围是()A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(－∞，0)∪(0,1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：依题意得＜1，即＞0，所以x的取值范围是x＞1或x＜0，选D.答案：D3.已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(－∞，3)C.[，3)D.(1,3)答案：D解析：(1)由于x≥1时，f(x)＝logax单调递增，故a＞1；(2)x＜1时，f(x)＝(3－a)x－4a单调递增，故3－a＞0，a＜3；要同时满足(1)(2)两个条件，则1＜a＜3，此时(3－a)x－4a＜0(x＜1)，又logax≥0(x≥1)，满足题意.4.y＝的递减区间是，y＝的递减区间是.解析：y＝∴y＝的递减区间是(－1，＋∞)和(－∞，－1).要使函数y＝有意义，则≥0，且1＋x≠0，∴－1＜x≤1∴y＝的递减区间为(－1,1].答案：(－1，＋∞)和(－∞，－1)(－1,1]5.(2010·泉州模拟)若在区间[，2]上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝x＋在同一点取得相同的最小值，则f(x)在该区间上的最大值是.解析：对于g(x)＝x＋在x＝1时，g(x)取最小值为2，则f(x)在x＝1时取最小值2，∴－＝1，f(1)＝1＋p＋q＝2.∴p＝－2，q＝3.∴f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)在该区间上的最大值为3.答案：36.已知函数f(x)＝(a0，x0)，(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.解：(1)证明：设x2x10，则x2－x10，x1x20，∵f(x2)－f(x1)＝＝0，∴f(x2)f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的.(2)∵f(x)在上的值域是又f(x)在上单调递增，∴f()＝，f(2)＝2.∴易得a＝