高考数学复习全套课件 第八章 第一节 椭圆

1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．2．了解椭圆的参数方程．1．椭圆的定义(1)第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．(2)第二定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的是常数e(e∈(0,1))的动点轨迹叫做椭圆．距离的比[思考探究1]在第一定义中，若没有“2a|F1F2|”的条件，那么点的轨迹还是椭圆吗？提示：不是．若2a＝|F1F2|，动点轨迹是线段F1F2；若2a|F1F2|，动点轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＝1(ab0)＝1(ab0)图形标准方程＝1(ab0)＝1(ab0)几何性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝c2＝2ca2－b2标准方程＝1(ab0)＝1(ab0)几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴、y轴和原点对称标准方程＝1(ab0)＝1(ab0)几何性质顶点(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长轴长，短轴长2a2b标准方程＝1(ab0)＝1(ab0)几何性质离心率e＝(0e1)准线x＝y＝a焦半径公式|PF1|＝a＋ex0|PF2|＝a－ex0|PF1|＝a＋ey0|PF2|＝a－ey0[思考探究2]椭圆的离心率与椭圆的形状有什么关系？提示：离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．3．椭圆的参数方程椭圆＝1(ab0)的参数方程为.1．椭圆＝1的焦距等于2，则m的值为()A．5或3B．8C．5D．16解析：当m4时，m－4＝1，m＝5；当m4时，4－m＝1，m＝3.答案：A2．设P是椭圆＝1上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由题意知a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.答案：D3．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A．9B．1C．1或9D．以上都不对解析：由题意知b＝3，又e＝，得a＝5.∴c＝＝4，∴焦点F到长轴的一个端点的距离为1或9.答案：C4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是____________．解析：椭圆方程化为＝1.焦点在y轴上，则＞2，即k＜1.又k＞0，∴0＜k＜1.答案：(0,1)5．已知P为椭圆＝1上一点，M、N分别为圆(x＋2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最大值为__________．解析：依题意，两圆圆心分别为椭圆的两焦点F1和F2，则|PM|≤|PF1|＋1，|PN|≤|PF2|＋1，故|PM|＋|PN|≤|PF1|＋1＋|PF2|＋1＝10＋2＝12.答案：121.当遇到与焦点距离有关的问题时，首先应考虑用定义解题．若椭圆上的点到焦点的距离直接处理较困难，且问题中有一个与离心率相关的系数时应用第二定义转化成点到相应的准线的距离；否则应用第一定义转化成到另一焦点的距离来解决．2．求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程＝1(ab0)或＝1(ab0)．(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．[特别警示]当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为＝1(m0，n0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A0，B0且A≠B)．(2009·上海高考)已知F1、F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[思路点拨][课堂笔记]设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则∴2r1r2＝(r1＋r2)2－()＝4a2－4c2＝4b2，∴＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.[答案]3在例1条件下，求使|PF1|＋|PF2|最小时椭圆的方程.解：由例1知，|PF1|·|PF2|＝18.∴|PF1|＋|PF2|≥2＝6，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取“＝”此时a＝3.∴椭圆方程为＝1.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点．(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求相应点P的坐标．(2)求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．[思路点拨][课堂笔记]由于椭圆方程为＝1，a＝3，b＝，c＝2，∴e＝，2a＝6.(1)如图(a)所示，过P向椭圆左准线作垂线，垂足为Q则由椭圆第二定义知：，∴|PQ|＝|PF|.从而|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|.显然，当A、P、Q共线时，|PA|＋|PQ|最小，最小值为(2)如图(b)，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)，∴|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.故|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.1.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆＝1，有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0e1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．3．求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．离心率e与a、b的关系：e2＝＝1－椭圆＝1(ab0)的两个焦点为F1(－c,0)、F2(c,0)，M是椭圆上一点，满足＝0.(1)求离心率e的取值范围；(2)当离心率e取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5，求此时椭圆的方程．2[思路点拨][课堂笔记](1)设点M的坐标为(x，y)，则F1M＝(x＋c，y)，F2M＝(x－c，y)．由F1M·F2M＝0，得x2－c2＋y2＝0，即y2＝c2－x2①又由点M在椭圆上得y2＝b2(1－)，代入①得b2(1－)＝c2－x2，所以x2＝a2(2－)，∵0≤x2≤a2，∴0≤a2(2－)≤a2，即0≤2－≤1,0≤2－≤1，解得≤e≤1，又∵0＜e＜1，∴≤e＜1.(2)当离心率e取最小值时，a2－b2＝c2⇒a2－b2＝a2⇒a2＝2b2，∴椭圆方程可表示为＝1，设点H(x，y)是椭圆上的一点，则|HN|2＝x2＋(y－3)2＝(2b2－2y2)＋(y－3)2＝－(y＋3)2＋2b2＋18(－b≤y≤b)．①若0＜b＜3，则－b＞－3，当y＝－b时，|HN|2有最大值b2＋6b＋9，由题意知：b2＋6b＋9＝50，b＝5－3，这与0＜b＜3矛盾．②若b≥3，则－b≤－3，当y＝－3时，|HN|2有最大值2b2＋18，由题意知：2b2＋18＝50，∴b2＝16，符合条件．∴所求椭圆方程为＝1.把椭圆方程＝1(ab0)与直线方程y＝kx＋b联立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，对此一元二次方程有：1．Δ0，直线与椭圆有两个公共点P、Q，此时弦长求法：(1)求P、Q两点的坐标，利用两点间距离公式；(2)由根与系数关系得到弦长公式|PQ|＝2．Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点．3．Δ0，直线与椭圆无公共点．[特别警示]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．(2009·辽宁高考)已知，椭圆C经过点A(1，)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．[思路点拨][课堂笔记](1)由题意，c＝1，可设椭圆方程为＝1.因为A在椭圆上，所以＝1，解得b2＝3，b2＝(舍去)．所以椭圆方程为＝1.(2)设直线AE的方程为：y＝k(x－1)＋，代入＝1，得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4(－k)2－12＝0.设E(xE，yE)，F(xF，yF)．因为点A(1，)在椭圆上，所以xE＝，yE＝kxE＋－k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代替k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k.所以直线EF的斜率kEF＝即直线EF的斜率为定值，其值为.椭圆是一种重要的圆锥曲线，是高考的必考内容．椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容，而直线和椭圆的位置关系则是高考考查的热点.09年高考全国卷Ⅱ以椭圆为载体，综合考查椭圆和直线方程的性质，点到直线的距离公式，向量的坐标运算等基础知识，将解析几何与平面向量的问题有机结合起来，进一步考查考生综合解题的能力，是一个新的考查方向．[考题印证](2009·全国卷Ⅱ)(12分)已知椭圆C：＝1(ab0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.(1)求a，b的值；(2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【解】(1)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，O到l的距离为，故，c＝1.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分)由e＝，得a＝，b＝┄┄┄(4分)(2)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)由(1)知C的方程为2x2＋3y2＝6.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝k(x－1)．C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)，且2(x1＋x2)2＋3(y1＋y2)2＝6，整理得2＋3＋2＋3＋4x1x2＋6y1y2＝6.又A、B在C上，即2＋3＝6,2＋3＝6.故2x1x2＋3y1y2＋3＝0.①(8分)将y＝k(x－1)代入2x2＋3y2＝6，并化简得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，于是x1＋x2＝，x1·x2＝，y1·y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝.代入①解得，k2＝2.此时x1＋x2＝.于是y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－，即P()．因此，当k＝－时，P()，l的方程为x＋y－＝0；当k＝时，P()，l的方程为x－y－＝0.┄┄┄┄┄┄┄┄┄(11分)②当l垂直于x轴时，由＝(2,0)知，C上不存在点P使成立．综上，C上存在点P()使成立，此时l的方程为x±y－＝0.┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)[自主体验]已知椭圆C：(m＞0)，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．(1)是否存在k，使对任意m＞0，总有成立？若存在，求出所有k的值；(2)若(m3＋4m)，求实数k的取值范围．解：(1)椭圆C：＝1，c2＝＝m2，c＝m，∴F(m,0)，直线AB的方程为：y＝k(x－m)．由消去y，得(10k2＋6)x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则x1＋x2＝，x1x2＝，则xM＝，yM＝k(xM－m)＝若存在k，使总成立，M为线段AB的中点，∴M为ON的中点，∴＝2.∴＝(2xM，2yM)＝()，即N点的坐标为()．由N点在椭圆上，则：即5k4－2k2－3＝0，∴k2＝1或k2＝－(舍去)．故存在k＝±1，使对任意m＞0，总有成立．(2)＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－m)(x2－m)＝(1＋k2)x1x2－k2