数据结构图结构

数据结构课程的内容多对多（m:n)特点：非线性结构，是研究数据元素之间的多对多的关系。在这种结构中，任意两个元素之间可能存在关系。即结点之间的关系可以是任意的，图中任意元素之间都可能相关。图的应用极为广泛，已渗入到诸如语言学、逻辑学、物理、化学、电讯、计算机科学以及数学的其它分支。第7章图7.1基本术语7.2存储结构7.3图的遍历7.4图的其他运算7.5图的应用第7章图7.1图的基本术语图：记为G＝(V,E)其中：V是G的顶点集合，是有穷非空集；E是G的边集合，是有穷集。问：当E(G)为空时，图G存在否？答：还存在！但此时图G只有顶点而没有边。有向图：无向图：完全图：图G中的每条边都是有方向的；图G中的每条边都是无方向的；图G任意两个顶点都有一条边相连接；若n个顶点的无向图有n(n-1)/2条边,称为无向完全图若n个顶点的有向图有n(n-1)条边,称为有向完全图V=vertexE=edge证明：②完全有向图有n(n-1)条边。证明：若是完全有向图，则顶点1必与所有其他顶点各有2条连线，即有2(n-1)条边，顶点2有2(n-2)条边，…，顶点n-1有2条边,顶点n有0条边.总边数＝2(n-1＋n-2＋…＋1＋0)=2(n-1+0)n/2=n(n-1)①完全无向图有n(n-1)/2条边。证明：若是完全无向图，则顶点1必与所有其他顶点各有1条连线，即有n-1条边，顶点2有n-2条边，…，顶点n-1有1条边,顶点n有0条边.总边数＝n-1＋n-2＋…＋1＋0=（n-1+0)n/2=n(n-1)/2例：判断下列4种图形各属什么类型？无向无向图(树)有向图有向n(n-1)/2条边n(n-1)条边G1的顶点集合为V(G1)={0,1,2,3}边集合为E(G1)={(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)}完全图完全图稀疏图：稠密图：设有两个图G＝(V,E)和G’＝(V’,E’)。若V’V且E’E,则称图G’是图G的子图。子图：边较少的图。通常边数n2边很多的图。无向图中，边数接近n(n-1)/2；有向图中，边数接近n(n-1)带权图：即边上带权的图。其中权是指每条边可以标上具有某种含义的数值（即与边相关的数）。连通图：在无向图中,若从顶点v1到顶点v2有路径,则称顶点v1与v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的,则称此图是连通图。非连通图的极大连通子图叫做连通分量。＝带权图在有向图中,若对于每一对顶点vi和vj,都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径,则称此图是强连通图。非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。强连通图：网络：有两类图形不在本章讨论之列：邻接点：有向边(u,v)称为弧，边的始点u叫弧尾，终点v叫弧头顶点v的度是与它相关联的边的条数。记作TD(v)。在有向图中,顶点的度等于该顶点的入度与出度之和。顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数,记作ID(v);顶点v的出度是以v为始点的有向边的条数,记作OD(v)。若(u,v)是E(G)中的一条边，则称u与v互为邻接顶点弧头和尾：度、入度和出度：问：当有向图中仅1个顶点的入度为0,其余顶点的入度均为1，此时是何形状？TD(vi)—顶点vi的度E—图中边的个数N—图中顶点的个数=E=1/2∑TD(vi)答：是树！而且是一棵有向树！生成树：是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有n-1条边。￭如果在生成树上添加1条边，必定构成一个环。￭若图中有n个顶点，却少于n-1条边，必为非连通图。生成森林：由若干棵生成树组成，含全部顶点，但构成这些树的边是最少的。简单路径：路径上各顶点v1,v2,...,vm均不互相重复。回路：例：若路径上第一个顶点v1与最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。路径：在图G＝(V,E)中,若从顶点vi出发,沿一些边经过一些顶点vp1,vp2,…,vpm，到达顶点vj。则称顶点序列(vivp1vp2...vpmvj)为从顶点vi到顶点vj的路径。它经过的边(vi,vp1)、(vp1,vp2)、...、(vpm,vj)应当是属于E的边。路径长度：非带权图的路径长度是指此路径上边的条数；带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。ADTGraph{数据对象V：v是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。数据关系R：R={VR}；VR={v,w|v,w∈V且P(v,w),v,w表示从v到w的弧，谓词P(v,w)定义了弧v,w的意义或信息}基本操作P：CreatGraph(&G,V,VR);初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。操作结果：按V和VR的定义构造图G。InsertVex(&G,v);初始条件：图G存在，v和图中顶点有相同特征。操作结果：在图G中添加新顶点。………………（参见P156-257）}图的抽象数据类型注意：V的大小写含义不同！7.2图的存储结构图的特点：非线性结构（m:n）•邻接表•邻接多重表•十字链表设计为邻接矩阵链式存储结构：顺序存储结构：无！（多个顶点，无序可言）但可用数组描述元素间关系。可用多重链表重点介绍：邻接矩阵(数组)表示法邻接表(链式)表示法一、邻接矩阵（数组）表示法,),(,,]][[.否则或者如果01AEjiEjijiEdge建立一个顶点表（记录各个顶点信息）和一个邻接矩阵（表示各个顶点之间关系）。设图A=(V,E)有n个顶点，则图的邻接矩阵是一个二维数组A.Edge[n][n]，定义为：v1v2v3v5v4v4A例1：邻接矩阵：A.Edge=（v1v2v3v4v5）v1v2v3v4v50000000000000000000000000分析1：无向图的邻接矩阵是对称的；分析2：顶点i的度＝第i行(列)中1的个数；特别：完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余全1。01010101010101110101011100101010101010111010101110顶点表：例2：有向图的邻接矩阵分析1：有向图的邻接矩阵可能是不对称的。分析2：顶点的出度=第i行元素之和，OD(Vi)=A.Edge[i][j]顶点的入度=第i列元素之和。ID(Vi)=A.Edge[j][i]顶点的度=第i行元素之和+第i列元素之和,即：TD(Vi)=OD(Vi)+ID(Vi)v1v2v3v4A邻接矩阵：A.Edge=(v1v2v3v4)v1v2v3v40000000000000000注：在有向图的邻接矩阵中，第i行含义：以结点vi为尾的弧(即出度边）；第i列含义：以结点vi为头的弧(即入度边）。顶点表：01100000000110000110000000011000容易实现图的操作，如：求某顶点的度、判断顶点之间是否有边（弧）、找顶点的邻接点等等。n个顶点需要n*n个单元存储边(弧);空间效率为O(n2)。对稀疏图而言尤其浪费空间。特别讨论：网（即有权图）的邻接矩阵定义为：A.Edge[i][j]=Wijvi,vj或（vi,vj）∈VR∞无边（弧）v1v2v3v4Nv5v65489755613以有向网为例：邻接矩阵：∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞N.Edge=(v1v2v3v4v5v6)邻接矩阵法优点：邻接矩阵法缺点：顶点表：5748956531∞5∞7∞∞∞∞4∞∞∞8∞∞∞∞9∞∞5∞∞6∞∞∞5∞∞3∞∞∞1∞注：用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵#defineINFINITYINT_MAX//最大值∞#defineMAX_VERTEX_NUM20//假设的最大顶点数Typedefenum{DG,DN,AG,AN}GraphKind;//有向/无向图，有向/无向网TypedefstructArcCell{//弧（边）结点的定义VRTypeadj;//顶点间关系，无权图取1或0；有权图取权值类型InfoType*info;//该弧相关信息的指针}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];Typedefstruct{//图的定义VertexTypevexs[MAX_VERTEX_NUM];//顶点表，用一维向量即可AdjMatrixarcs;//邻接矩阵IntVernum,arcnum;//顶点总数，弧（边）总数GraphKindkind;//图的种类标志}Mgraph;图的邻接矩阵存储表示（参见教材P161）对于n个顶点的图或网，空间效率=O(n2)StatusCreateUDN(Mgraph&G){//无向网的构造，用邻接矩阵表示scanf(&G.vexnum,&G.arcnum,&IncInfo);//输入总顶点数，总弧数和信息for(i=0;iG.vexnum,;++i)scanf(&G.vexs[i]);//输入顶点值，存入一维向量中for(i=0;iG.vexnum;++i)//对邻接矩阵n*n个单元初始化，adj=∞,info=NULLfor(j=0;jG.vexnum;++j)G.arcs[i][j]={INFINITY,NULL};for(k=0;kG.arcnum;++k){//给邻接矩阵有关单元赋初值(循环次数＝弧数scanf(&v1,&v2,&w);//输入弧的两顶点以及对应权值i=LocateVex(G,v1);j=LocateVex(G,v2);//找到两顶点在矩阵中的位置(n次?G.arcs[i][j].adj=w;//输入对应权值If(IncInfo)Input(*G.arcs[i][j].info);//如果弧有信息则填入G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j]；//无向网是对称矩阵}returnOK;}//CreateUDN例：用邻接矩阵生成无向网的算法（参见教材P162）对于n个顶点e条弧的网，建网时间效率=O(n2+n+e*n)二、邻接表（链式）表示法对每个顶点vi建立一个单链表，把与vi有关联的边的信息（即度或出度边）链接起来，表中每个结点都设为3个域；每个单链表还应当附设一个头结点（设为2个域），存vi信息；adjvexnextarcinfodatafirstarc表结点头结点邻接点域，表示vi一个邻接点的位置链域，指向vi下一个边或弧的结点数据域，与边有关信息（如权值）数据域，存储顶点vi信息链域，指向单链表的第一个结点每个单链表的头结点另外用顺序存储结构存储。例1：无向图的邻接表v1v2v3v5v4v4邻接表01234^1334^142^0例2：有向图的邻接表v1v2v3v4V4V3^V2V12^3^0^1邻接表(出边)V4V3V2V1^3^0^2^0逆邻接表(入边)注：邻接表不唯一，因各个边结点的链入顺序是任意的。v1v2v3v4v523^142^0例3：已知某网的邻接（出边）表，请画出该网络。8064125当邻接表的存储结构形成后，图便唯一确定！分析1:对于n个顶点e条边的无向图，邻接表中除了n个头结点外，只有2e个表结点,空间效率为O(n+2e)。若是稀疏图(en2)，则比邻接矩阵表示法O(n2)省空间。邻接表存储法的特点：分析2:在有向图中，邻接表中除了n个头结点外，只有e个表结点,空间效率为O(n+e)。若是稀疏图，则比邻接矩阵表示法合适。—它其实是对邻接矩阵法的一种改进怎样计算无向图顶点的度？邻接表的缺点：怎样计算有向图顶点的出度？怎样计算有向图顶点的入度？怎样计算有向图顶点Vi的度：需遍历全表邻接表的优点：TD(Vi)=单链表中链接的结点个数OD(Vi)＝单链出边表中链接的结点数ID(Vi)＝邻接点为Vi的弧个数TD(Vi)=OD(Vi)+ID(Vi)空间效率高；容易寻找顶点的邻接点；判断两顶点间是否有边或弧，需搜索两结点对应的单链表，没有邻接矩阵方便。讨论：邻接表与邻接矩阵有什么异同之处？1.联系：邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行，链表中结点个数等于一行中非零元素的个数。2.区别：①对于任一确定的无向图，邻接矩阵是唯一的（行列号与顶点编