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更多优质自考资料尽在百度贴吧自考乐园俱乐部()欢迎❤加入...欢迎❤交流...止不住的惊喜等着你.........自考乐园,自考学习交流、资料共享的好去处!自考乐园,自考人自己的家园....俱乐部id:5346389534638953463895346389(请牢记它哦~在百度贴吧的搜索框中输入俱乐部id,可以直接进入俱乐部自考高数(工本)讲义课程代码:00023:00023:00023:00023目录1.函数与极限2.导数与微分3.不定积分4.定积分及其应用5.第一章空间解析几何与向量代数6.第二章多元函数的微分学7.第三章重积分8.第四章曲线积分与曲面积分9.第五章常微分方程函数与极限一、函数(一)几个概念1、邻域:点a的δ邻域--(,)Uaδ,点a的δ去心邻域--(,)Uaδ。2、函数的有界性:,0,,|()|.XDMxXfxM⊂∃∀∈3、单调性4、奇偶性5、周期性(昀小正周期)6、反函数(求反函数的步骤,关于对称)yx=(二)基本初等函数幂函数qpyxxμ±==,指数函数xya=,对数函数logayx=,三角函数sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx,反三角函数arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx。-2-1012-1-0.500.51sin(x)01234-1-0.500.51cos(x)-1.5-1-0.500.511.5-505tan(x)00.511.522.53-505cot(x)-101234-10-50510sec(x)0123456-10-50510csc(x)-1-0.500.51-101arcsin(x)-1-0.500.510123arccos(x)1-10-50510-101arctan(x)-10-505100123arccot(x)由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合运算的所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。(三)常用公式1、幂指对公式:(1);(2)()bbbacac⋅=bbbaacc⎛⎞=⎜⎟⎝⎠;(3)bcbcaaa+=i;(4)()cbbaa=cb(5);(6)loglogcaabc=logloglogcacbba=;(7)logbaab=;(8)logabab=3、三角公式●三角函数基本关系(1);(2)22sincos1αα+=sintancosααα=;(3)coscotsinααα=;(4)tancot1αα=i;(5)sincsc1αα=;(6)cossec1αα=;(7)22sectan1αα−=;(8)22csccot1αα−=●三角公式其它重要公式()sinsincoscossinαβαβα±=±β()coscoscossinsinαβαβα±=∓β()tantantan1tananαβαβαβ±±=∓sinsin2sincos22αβααββ+−+=sinsin2cossin22αβααβ+−−=βcoscos2coscos22αβααββ+−+=coscos2sinsin22αβααββ+−−=−()(1sinsincoscos2)αβαβα=−+−−β⎡⎤⎣⎦()(1coscoscoscos2)αβαβα=++−⎡⎤⎣⎦β()(1sincossinsin2)αβαβα=−++−β⎡⎤⎣⎦22tansin22sincos1tanααααα==+222222cos2cossin2cos11tan12sin1tanααααααα=−=−=−=−+22tantan21tanααα=−1cossin22αα−=±21coscos22αα+=±1cos1cossintan21cossin1cosααααααα−−=±==++21cos2sin2αα−=21cos2cos2αα+=二、极限1、无穷小:极限为0的变量称为无穷小运算法则:(1)有限个无穷小相加是无穷小(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小●有极限的变量与无穷的乘积是无穷小●常数与无穷的乘积是无穷小●有限个无穷小的乘积是无穷小2、无穷小与函数极限的关系:0lim()()()()()xxfxAfxAxfxAxαα→=⇔=+⇔−=3、极限存在准则:(1)夹逼准则:nnnxyz≤≤(2)单调有界准则4、两个重要极限:(1)0sinlim1xxx→=,(0,)2xπ∈,sintanxxx(2)10lim(1)xxxe→+=5、无穷小的比较:(1)β是比α高阶的无穷小ifflim0βα=(2)β与α是同阶无穷小ifflim(0)CCβα=≠(3)β与α是等价无穷小ifflim1βα=(4)β是α的k阶无穷小ifflim(0)kCCβα=≠(5)11个重要的等价无穷小:sin~xx,arcsin~xx,tan~xx,arctan~xx,211cos~2xx−,31tansin~2xxx−,,,1~lnaxx−a1~xex−log(a1)~lnxxa+,ln(1)~xx+,11~((1)1~)nxxxxnαα+−+−(6)等价无穷小替换:若~αα′,~ββ′,且limAorβα′=∞′,则limlimββαα′=′。例:30tansinlimsin2xxxx→−三、连续函数1、定义:00lim()()xxfxfx→=或左、右连续0lim0xyΔ→Δ=2、间断点:第一类间断点(跳跃型、可去型);第二类间断点(无穷型、振荡型)3、闭区间连续函数的性质(1)昀大昀小值定理Æ有界定理(2)介质定理:在闭区间上连续的函数必须取得介于昀大值M和昀小值m之间的任何值。Æ零点定理3导数与微分一、导数的定义与几何意义0000000()()()()()limlimlimxxxx0fxxfxfxfxyfxxxxΔ→Δ→→+Δ−−xΔ′===ΔΔ−求导函数:0()(()limx)fxxfxfxxΔ→+Δ−′=Δ左右导数导数Æ连续几何意义:切线低斜率二、求导数法则1、四则运算:[()[()()]()()uxvxuxvx′′′±=±()]()()()()uxvxuxvxuxvx′′′⋅=+2()()()()()(()0)()()uxuxvxuxvxvxvxvx′′′⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦2、反函数的导数:1()()fxyϕ′=′3、复合函数求导:{[()]}[()]()fxfxxϕϕϕ′′′=⋅或((dfdfduuxdxdudxϕ=⋅=))4、基本求导公式0C′=1()xxμμμ−′=()lnxxaa′=a()xxee′=1(log)lnaxxa′=1(ln)xx′=(sin)cosxx(cos)′=sinxx′=−2sec(tan)xx(cot′=2)cscxx′=−(sec)tansecxx′=x(csc)cotcscxxx′=−21sin)1x(arcx′=−21(arccos)1xx−′=−21(arctan)1xx′=+211(carcot)x−+′=三、高阶导数:11nnndyddydxdxdx−−⎛⎞=⎜⎝⎠n⎟基本公式如下:()(sin)sin()2nnxxπ=+()(cos)cos()2nnxxπ=+()1(1)(ln)(1)nnnnxx−!−=−(莱布尼兹公式)()()()0[()()]()()nnnkkkuxvxuxvx−=⋅=⋅∑四、隐函数求导(关键是抓住是对什么变量求导,认清谁是函数)例:,求0xyxyee−+=22,dydydxdx。对数求导法:32(1)1(4)xxxyxe+−=+sinxyx=1五、参数方程确定的函数求导:()()()()xxtdydydtytyytdxdtdxxt=′⎧⇒=⋅=⎨′=⎩例:(sin)(1cos)xattyat=−⎧⎨=−⎩,求22,dydydxdx。六、函数的微分1、定义:00()()()yfxxfxAxoxΔ=+Δ−=⋅Δ+ΔAx⋅Δ称为线性主部,记为dy。2、与导数关系:可微iff可导()dyfxdx′=3、微分基本公式与运算法(由求公式直接得到)如:1(ln)dxdxx=()duvvduudv=+2uvduudvdvv−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠4、微分形式不变性:---u可为任意变量或中间函数()dyfudu′=如:[sin(21)]cos(21)(21)dxxdx+=++七、微分中值定理1、罗尔定理:若()[,](,)fxCabDab∈∩,且()()fafb=,则(,)abξ∃∈,使()0fξ′=。2、拉格朗日中值定理:若()[,](,)fxCabDab∈∩,则(,)abξ∃∈,使()()()fbfafbaξ−′=−Æ()yfxξ′Δ=Δ3、柯西中值定理:若(),()[,](,)fxgxCabDab∈∩,且(,)xab∀∈,()0gx′≠,则(,)abξ∃∈,使()()()()()()ffbfaggbgaξξ′−=′−八、洛必达法则七种未定式:00,∞∞,0,∞−,,1⋅∞∞00∞,0∞例:20tanlimtanxxxxx→−0limxxx→九、泰勒公式:若()fx在含有0x的某开区间内具有直到n+1阶的导数,则当在(a,b)时,()fx可以表示成0()xx−的n阶多项式与一个余项()nRx之和(其中ξ介于x和0x之间):()(1)1000000()()()()()()()()!(1)!nnnnfxffxfxfxxxxxxxnnξ++′=+−++−+−+拉格朗日余项:(1)10()()()(1)!nnnfRxxxnξ++=−+皮亚诺余项:0()[()]nnRxoxx=−2常用的麦克劳林公式:11(!(1)!nxxnxeexxnnθθ+01)=+++++3211222(1)cossin(1)()(())3!(21)!(21)!mmmmmmxxxxRxRxxmmθ−−+−=−++−+=−+1x2221cos1(1)()2!(2)!nnnxxxon+=−++−+x231ln(1)(1)()23nnnxxxxxon−+=−+−+−+x211(1nn)xxxox=+++++−x2(1)(1)(1)(1)1()2!!nnnxxxxonαxαααααα−−−++=+++++十、导数的应用1、判断函数的单调性,求单调区间2、求函数极值:驻点、奇点定理1定理2:00()0,()0fxfx′′′=≠,则0()0fx′′极小。求最值。3、判定函数的凸性,求拐点:,上凸;()0fx′′()0fx′′,下凹。3不定积分一、定义与基本公式1、若,则()()Fxfx′=()()()()()()fxdxFxCFxdxFxCdFxFxC′=+⇔=+⇔=+∫∫∫2、基本积分公式kdxkxC=+∫()1111xdxxCμμμμ+=+≠−+∫1lndxxCx=+∫21arctan1dxxCx=++∫21arcsin1dxxCx=+−∫()0,1lnxxaadxCaaa=+≠∫xxedxeC=+∫sincosxdxxC=−+∫cossinxdxxC=+∫2sectanxdxxC=+∫2csccotxdxxC=−+∫sectansecxxdxxC=+∫csccotcscxxdxxC=−+∫tanlncosln|sec|xdxxCxC=−+=+∫cotlnsinln|csc|xdxxCxC=+=−+∫seclnsectanxdxxxC=++∫csclncsccotxdxxxC=−∫+2211arctanxdxCaaax=++∫2211ln2axdxCaaxxa−=++−∫2211ln2axdxCaaxax+=+−−∫221arcsinxdxCaax=+−∫22221lndxxxaCxa=+±+±∫二、换元积分法(一)第一类换元法[()]()[()]()[()]fxxdxfxdxFxϕϕϕϕϕ′==∫∫C+()()Fxfx,设′=例:1、1111xxxeedxdxee+−=++∫∫x2、121(1)xxedxx+−∫3、12321dxxx+−−∫(有理化)4、11cosdxx+∫(21cos2cos2xx+=)5、25sincosxxdx⋅∫6、cos3cos2xxdx
本文标题:自考高数(工本)讲义00023
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